0-1背包问题：完美诠释动态规划强大力量

见解分享

2023-12-04 15:08:45

0-1 背包问题：定义与背景

0-1 背包问题如下：

给定一个背包，最大承重为 W。
有 n 件物品，每件物品有自己的重量和价值。
每件物品只能选择装入背包或不装入背包，不能拆分装入。
目标是在不超过背包承重的情况下，选择装入背包的物品，使得物品的总价值最大。

0-1 背包问题是典型的 NP 难问题，即不存在多项式时间内的确定性算法能够求解。然而，我们可以通过动态规划的方法，在伪多项式时间内找到问题的最优解。

动态规划求解 0-1 背包问题

动态规划是一种自底向上的问题求解策略，它将问题分解成一系列子问题，并通过递推的方式逐个求解子问题，最终得到原问题的最优解。

在 0-1 背包问题中，我们可以定义子问题 f(i, w)，表示在考虑前 i 件物品时，背包容量为 w 时的最大价值。

f(i, w) = max{f(i-1, w), f(i-1, w - w_i) + v_i}

其中：

f(i-1, w) 表示在考虑前 i-1 件物品时，背包容量为 w 时的最大价值。
f(i-1, w - w_i) + v_i 表示在考虑前 i-1 件物品时，背包容量为 w - w_i 时的最大价值，加上第 i 件物品的价值 v_i。

通过递推计算，我们可以得到 f(n, W)，即在考虑所有 n 件物品时，背包容量为 W 时的最大价值，也就是 0-1 背包问题的最优解。

代码实现

def backpack(items, capacity):
    n = len(items)
    dp = [[0 for _ in range(capacity + 1)] for _ in range(n + 1)]

    for i in range(1, n + 1):
        weight, value = items[i - 1]
        for w in range(1, capacity + 1):
            if weight > w:
                dp[i][w] = dp[i - 1][w]
            else:
                dp[i][w] = max(dp[i - 1][w], dp[i - 1][w - weight] + value)

    return dp[n][capacity]


items = [(2, 3), (1, 2), (3, 4), (4, 5)]
capacity = 5
result = backpack(items, capacity)
print(result)