一枚硬币的叮当，解析LeetCode 518 零钱兑换的最优策略

前端

2023-12-12 06:23:42

LeetCode 518 - 零钱兑换：最优解

序言

算法，对于前端工程师而言，既熟悉又陌生。或许我们不像后端工程师那般重视算法能力，但事实上，算法对每一位程序员都至关重要。因为开发的本质就是将实际问题转化为计算机可识别的指令，而算法正是完成这一转化过程的核心。

问题引入

LeetCode 518 零钱兑换问题是一个经典的动态规划问题。它了一个现实场景：我们有一堆面值不同的硬币，需要用这些硬币凑出指定金额的零钱。我们的目标是找到一种使用硬币数量最少的方案，也就是最优解。

动态规划的魅力

动态规划是一种自底向上的算法范式，特别适用于解决具有重叠子问题的问题。在零钱兑换问题中，对于每一个硬币面值和金额，我们都可以通过考察其子问题（更小的面值和金额）的最优解来推导出当前问题的最优解。

具体来说，我们可以定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示使用面值不大于 i 的硬币凑出金额 j 所需的最小硬币数量。

算法步骤

初始化：将 dp[0][j] 设为无穷大，表示无法凑出金额 j；将 dp[i][0] 设为 0，表示凑出金额 0 不需要硬币。
状态转移：对于每一个 i 和 j，有两种选择：
- 使用面值为 i 的硬币：dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i - 1][j - i] + 1)
- 不使用面值为 i 的硬币：dp[i][j] = dp[i - 1][j]
求解最优解：当 j 为目标金额时，dp[i][j] 即为使用面值不大于 i 的硬币凑出目标金额的最优解。

代码实现

def min_coins(coins, amount):
    """
    :param coins: 硬币面值列表
    :param amount: 目标金额
    :return: 最小硬币数量
    """
    n = len(coins)
    dp = [[float('inf')] * (amount + 1) for _ in range(n + 1)]

    for i in range(n + 1):
        dp[i][0] = 0

    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, amount + 1):
            if coins[i - 1] <= j:
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i - 1][j - coins[i - 1]] + 1)
            dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i - 1][j])

    return dp[n][amount]