从 LeetCode 741 摘樱桃学经典线性 DP 应用题

2023-12-28 20:14:40

从 LeetCode 741 摘樱桃学经典线性 DP 应用题

前言

在 LeetCode 的浩瀚题海中，有许多经典题目可以帮助我们掌握各种编程算法和数据结构。其中，线性动态规划（DP）是解决许多问题的重要技巧。LeetCode 741 摘樱桃就是一道经典的线性 DP 题目。在本篇文章中，我们将详细解析这道题目，一步步带领您理解算法思想和实现步骤，并提供详细的示例和清晰的讲解，帮助您深入理解线性动态规划的应用。

题目

在一个 N \times N 的网格中，每个格子代表了一块樱桃地。每个格子由以下三种数字之一组成：

0 表示一个空地
1 表示一棵樱桃树
2 表示一个障碍物

您从网格的左上角出发，每次只能向右或向下走一步。您想收集尽可能多的樱桃，但不能经过障碍物。

算法思想

解决这道题目的关键在于理解线性动态规划的思想。线性动态规划是一种自底向上的算法，它将问题分解成一系列子问题，然后逐步解决这些子问题，最终得到问题的整体解决方案。

对于这道题目，我们可以将问题分解成以下几个子问题：

当您到达网格的某个格子时，您可以选择向右或向下走一步。
每次移动，您都可以收集该格子中的樱桃。
您不能经过障碍物。

那么，对于每个格子，我们都可以计算出从该格子出发能够收集到的最大樱桃数量。这个数量取决于以下几个因素：

该格子本身的樱桃数量
从该格子向右走一步所能收集到的最大樱桃数量
从该格子向下走一步所能收集到的最大樱桃数量

我们只需要找到一个公式，将这些因素结合起来，就可以计算出每个格子的最大樱桃数量。

算法实现

根据上述算法思想，我们可以将算法实现如下：

def cherry_picking(grid):
  """
  :type grid: List[List[int]]
  :rtype: int
  """
  n = len(grid)
  dp = [[[-1 for _ in range(3)] for _ in range(n)] for _ in range(n)]

  def dfs(x, y, state):
    """
    :type x: int
    :type y: int
    :type state: int
    :rtype: int
    """
    if x == n - 1 and y == n - 1:
      return 0

    if dp[x][y][state] != -1:
      return dp[x][y][state]

    res = 0
    if state == 0:
      res = max(dfs(x + 1, y, 1), dfs(x, y + 1, 2))
    elif state == 1:
      res = grid[x][y] + max(dfs(x + 1, y, 1), dfs(x, y + 1, 0))
    else:
      res = grid[x][y] + max(dfs(x + 1, y, 2), dfs(x, y + 1, 1))

    dp[x][y][state] = res
    return res

  return dfs(0, 0, 0)