动态规划：从入门到精通的实用指南

闲谈

2023-11-05 15:13:15

前言

在计算机科学中，动态规划是一种用于解决复杂问题的优化算法。它将问题分解成更小的子问题，然后逐步解决这些子问题，从而得到最终答案。与暴力搜索等朴素算法相比，动态规划可以大幅降低算法的时间复杂度和空间复杂度。

动态规划的核心思想

动态规划的核心思想是将一个复杂问题分解成一系列更小的子问题，然后逐个解决这些子问题。每个子问题都存储在一个表格中，以便可以在解决后续子问题时重复使用。这种方法可以显著减少重复计算，从而提高算法的效率。

动态规划的应用场景

动态规划可以广泛应用于各种问题，如最长公共子序列、最短路径、背包问题等。在机器学习、数据挖掘等领域，动态规划也发挥着重要作用。

动态规划的步骤

明确问题并分解子问题：
首先，需要明确所要解决的问题，并将其分解成一系列更小的子问题。子问题应该彼此独立，并且可以逐个解决。
确定状态和状态转移方程：
接下来，需要确定问题的状态，以及状态之间的转移方程。状态是指问题在某一时刻的状态，状态转移方程是指从一种状态转换到另一种状态所需的计算。
使用动态规划表记录状态：
为了避免重复计算，需要使用动态规划表记录状态。动态规划表是一个二维数组，其中每一行对应一个状态，每一列对应一个子问题。当求解一个子问题时，可以从动态规划表中查找相应的状态，如果已经存在，则直接使用，否则需要计算并将其存储在动态规划表中。
求解子问题：
可以使用递归或迭代的方法来求解子问题。递归方法是从最简单的子问题开始，逐个解决更复杂的子问题。迭代方法是将问题分解成一系列步骤，然后逐个执行这些步骤。
回溯以获取最终答案：
求解出所有子问题后，可以回溯以获取最终答案。回溯是指从最后一个子问题开始，逐个回到前面的子问题，并使用这些子问题的答案来计算最终答案。

动态规划的示例

以下是一个动态规划的示例，用于求解最长公共子序列问题。

最长公共子序列问题是给定两个字符串，求出这两个字符串的最长公共子序列。最长公共子序列是指两个字符串中出现过的最长的连续子序列。

def lcs(s1, s2):
    """
    求两个字符串的最长公共子序列。

    Args:
        s1 (str): 第一个字符串。
        s2 (str): 第二个字符串。

    Returns:
        str: 最长公共子序列。
    """
    # 创建动态规划表。
    dp = [[0 for _ in range(len(s2) + 1)] for _ in range(len(s1) + 1)]

    # 逐个求解子问题。
    for i in range(1, len(s1) + 1):
        for j in range(1, len(s2) + 1):
            if s1[i - 1] == s2[j - 1]:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])

    # 回溯以获取最长公共子序列。
    lcs = ""
    i = len(s1)
    j = len(s2)
    while i > 0 and j > 0:
        if s1[i - 1] == s2[j - 1]:
            lcs = s1[i - 1] + lcs
            i -= 1
            j -= 1
        else:
            if dp[i - 1][j] > dp[i][j - 1]:
                i -= 1
            else:
                j -= 1

    return lcs


# 测试。
print(lcs("ABCDGH", "AEDFHR"))
# 输出：ADH