探索LeetCode 107：952- 按公因数计算最大组件大小

2023-09-09 10:24:06

前言

踏入算法的奥妙世界，我们来到了LeetCode的第107站，迎接我们的是一道巧妙的图论问题——952- 按公因数计算最大组件大小。这道题的本质是寻找图中的连通分量，并找出其中最大的那个，而图中的节点和边是由给定数组的数字及其公因数所组成的。让我们踏上这段探索之旅，领略算法之美。

算法解析

连通分量
连通分量是指图中一组连通的节点，它们之间至少存在一条路径相连。找出最大连通分量就是找到连接最多的节点组。

公因数
题目要求我们以公因数作为边的依据构建图。对于给定的数组 nums，如果两个数字 i 和 j 存在公因数，那么我们就在图中添加一条从 i 到 j 的边。

算法步骤

初始化并查集： 创建并查集数据结构，它可以高效地管理节点的连通性。
遍历数组： 依次遍历数组 nums 中的每个数字 i。
分解质因数： 对于每个数字 i，分解其质因数，并将其存储在集合中。
遍历质因数： 对于 i 的每个质因数 p，查找集合中是否包含 p 的倍数。如果是，则使用并查集合并 i 和该倍数所在的连通分量。
统计最大连通分量： 在处理完所有数字后，遍历并查集，统计每个连通分量的节点数量。最大的连通分量就是我们需要的答案。

代码实现

from collections import defaultdict

def max_component_size(nums):
    # 初始化并查集
    parent = {n: n for n in nums}
    rank = {n: 0 for n in nums}

    # 遍历数组
    for num in nums:
        # 分解质因数
        factors = set()
        i = 2
        while num > 1:
            if num % i == 0:
                factors.add(i)
                while num % i == 0:
                    num //= i
            i += 1

        # 遍历质因数
        for factor in factors:
            # 查找集合中是否包含 factor 的倍数
            p = factor
            while p in parent:
                p = parent[p]

            # 合并连通分量
            if p != num:
                if rank[p] < rank[num]:
                    parent[p] = num
                    rank[num] += 1
                else:
                    parent[num] = p
                    rank[p] += 1

    # 统计最大连通分量
    max_size = 0
    for n in nums:
        p = find_parent(n, parent)
        max_size = max(max_size, rank[p])

    return max_size

def find_parent(node, parent):
    if parent[node] != node:
        parent[node] = find_parent(parent[node], parent)
    return parent[node]