破解算法新视界：计算几何系列题挑战

后端

2023-07-30 03:30:33

征服计算几何：算法爱好者的终极挑战

探索计算几何的广阔世界

算法爱好者和职业选手们，欢迎来到计算几何的迷人世界！这个激动人心的领域将数学、空间认知和编程完美融合，为算法爱好者们提供了无尽的挑战和乐趣。无论你是为算法面试、笔试做准备，还是仅仅想提升你的算法能力，这篇文章将为你提供丰富的宝贵知识。

4 大计算几何挑战题

为了激发你的算法热忱，这里有 4 个必练的计算几何挑战题：

安装栅栏： 在二维花园中，用最短的绳子围起一个矩形，并将所有树包含在内。
寻找凸包： 给定一组二维平面上的点，找出所有点中最外侧的点的集合，形成凸包。
点在多边形内： 判断一个点是否位于多边形内部。
计算两条线段的交点： 计算两条给定线段的交点，如果不存在交点，则返回一个特殊值。

化繁为简的解题思路

面对这些看似艰巨的题目，化繁为简的思路至关重要。

安装栅栏： 找到所有树的凸包，其周长就是最短的矩形边界。
寻找凸包： 采用 Graham 扫描算法，通过逐个确定凸包上的点来形成完整的凸包。
点在多边形内： 使用射线法，从该点发射射线，如果射线与多边形相交的次数为奇数，则该点在多边形内。
计算两条线段的交点： 利用向量叉积，判断两条线段是否相交，并计算交点的位置。

示例代码：

def is_point_in_polygon(point, polygon):
    """判断点是否在多边形内。
    
    Args:
        point: 要判断的点，(x, y) 元组。
        polygon: 多边形，由一系列 (x, y) 元组组成。

    Returns:
        布尔值，指示该点是否在多边形内。
    """
    num_intersections = 0
    for i in range(len(polygon)):
        p1, p2 = polygon[i], polygon[(i + 1) % len(polygon)]
        if do_lines_intersect(point, (0, 0), p1, p2):
            num_intersections += 1
    return num_intersections % 2 == 1

def do_lines_intersect(p1, q1, p2, q2):
    """判断两条线段是否相交。
    
    Args:
        p1, q1: 第一條線段的端點。
        p2, q2: 第二條線段的端點。

    Returns:
        布尔值，指示两条线段是否相交。
    """
    o1 = orientation(p1, q1, p2)
    o2 = orientation(p1, q1, q2)
    o3 = orientation(p2, q2, p1)
    o4 = orientation(p2, q2, q1)
    
    if o1 != o2 and o3 != o4:
        return True

    if o1 == 0 and on_segment(p1, p2, q1): return True
    if o2 == 0 and on_segment(p1, q2, q1): return True
    if o3 == 0 and on_segment(p2, p1, q2): return True
    if o4 == 0 and on_segment(p2, q1, q2): return True
    
    return False

def orientation(p, q, r):
    """計算點 p、q、r 构成的向量的方向。
    
    Args:
        p, q, r: 三个点，(x, y) 元组。

    Returns:
        0：共线，1：逆时针，2：顺时针。
    """
    val = (q[1] - p[1]) * (r[0] - q[0]) - (q[0] - p[0]) * (r[1] - q[1])
    if val == 0: return 0
    elif val > 0: return 1
    else: return 2

def on_segment(p, q, r):
    """判断点 q 是否在线段 pr 上。
    
    Args:
        p, q, r: 三个点，(x, y) 元组。

    Returns:
        布尔值，指示点 q 是否在线段 pr 上。
    """
    if q[0] <= max(p[0], r[0]) and q[0] >= min(p[0], r[0]) and q[1] <= max(p[1], r[1]) and q[1] >= min(p[1], r[1]):
        return True
    return False