深挖动态规划的算法精髓，彻底剖析常考的六个算法框架，秒杀编程面试！

2024-02-10 14:12:33

动态规划，一个在编程面试中常考且颇具挑战性的算法，以其独特的“分治+记忆”思想，在解决众多复杂问题时展现出强大的效力。本文将深入探讨动态规划的算法精髓，从六大经典算法框架入手，全面剖析动态规划的精妙之处，帮助读者全面掌握动态规划算法，在编程面试中脱颖而出！

动态规划的灵魂：“分治+记忆”

动态规划算法的核心思想是将一个复杂的问题分解成若干个子问题，然后依次解决这些子问题，并将子问题的解存储起来，以备后续使用。这种“分治+记忆”的思想，不仅提高了算法的效率，也让算法更加易于理解和实现。

六大经典算法框架，纵横动态规划

最长公共子序列（LCS）算法 ：LCS算法用于求解两个字符串的最长公共子序列的长度。LCS算法的子问题是求解两个字符串的前缀子序列的最长公共子序列的长度，而最优子结构是两个字符串的前缀子序列的最长公共子序列的长度等于两个字符串的前缀子序列的最后一个字符相同时的最长公共子序列的长度，否则等于两个字符串的前缀子序列的最长公共子序列的长度。
最短路径问题（SPP）算法 ：SPP算法用于求解从一个节点到另一个节点的最短路径的长度。SPP算法的子问题是求解从一个节点到另一个节点的中间节点的所有可能路径的最短路径的长度，而最优子结构是所有可能路径的最短路径的长度等于最短路径的长度加上最短路径的长度。
背包问题（KP）算法 ：KP算法用于求解在给定的容量限制下，如何选择一组物品使物品的总价值最大。KP算法的子问题是求解在给定的容量限制下，选择前i个物品的总价值最大，而最优子结构是选择前i个物品的总价值最大等于选择前i-1个物品的总价值加上第i个物品的价值，如果第i个物品的重量加上前i-1个物品的总重量小于或等于给定的容量限制。
旅行商问题（TSP）算法 ：TSP算法用于求解一个旅行商需要访问多个城市，并且每个城市只能访问一次，如何规划旅行路线使总路程最短。TSP算法的子问题是求解一个旅行商从一个城市出发，访问所有其他城市，并回到出发城市的总路程最短，而最优子结构是一个旅行商从一个城市出发，访问所有其他城市，并回到出发城市的总路程最短等于一个旅行商从一个城市出发，访问所有其他城市，并回到出发城市的总路程加上一个旅行商从最后一个城市回到出发城市的距离。
编辑距离问题（ED）算法 ：ED算法用于求解两个字符串之间需要进行多少次编辑操作才能使两个字符串相同。ED算法的子问题是求解两个字符串的前缀子序列之间的编辑距离，而最优子结构是两个字符串的前缀子序列之间的编辑距离等于两个字符串的前缀子序列的最后一个字符相同时的编辑距离，否则等于两个字符串的前缀子序列的编辑距离加上1。
最大子数组和问题（MSS）算法 ：MSS算法用于求解一个数组中的连续子数组的最大和。MSS算法的子问题是求解一个数组的前缀子数组的最大和，而最优子结构是一个数组的前缀子数组的最大和等于一个数组的前缀子数组的最大和加上一个数组的最后一个元素，如果一个数组的前缀子数组的和加上一个数组的最后一个元素大于0。