稀疏矩阵三元组的妙用：逆置、加法和乘法运算

稀疏矩阵是一种特殊类型的矩阵，其特点是非零条目很少。稀疏矩阵三元组是一种常见的稀疏矩阵存储格式，它使用三个数组来存储矩阵中的非零条目：

1. `row_ind`：存储非零条目指示符的行号
2. `col_ind`：存储非零条目指示符的列号
3. `vals`：存储非零条目指示符的值

逆置、加法和乘法是稀疏矩阵三元组中常见的基本运算。

**逆置运算** 

稀疏矩阵的逆置是指将矩阵的行和列进行交换。三元组格式的逆置运算可以通过如下三步来进行：

1. 将 `row_ind` 数组中的所有值与 `col_ind` 数组中的值进行交换。
2. 交换 `row_ind` 数组和 `col_ind` 数组。
3. 调整 `vals` 数组中的值以确保逆置矩阵中的值与原始矩阵中的值相对应。

**加法运算** 

稀疏矩阵的加法是指将具有相同维数的稀疏矩阵相加。三元组格式的加法运算可以通过如下三步来进行：

1. 将参与运算的稀疏矩阵的三元组数组按升序排序。
2. 遍历排序后的数组，合并相同行和列的非零条目，并将相应的 `vals` 值相加。
3. 去除排序后的数组中重复的非零条目。

**乘法运算** 

稀疏矩阵与稠密向量的乘法是一种常见的稀疏矩阵运算。三元组格式的乘法运算可以通过如下三步来进行：

1. 将稀疏矩阵的三元组数组按行号排序。
2. 遍历稀疏矩阵的三元组数组，与稠密向量进行逐行相乘。
3. 将相乘的结果按升序排序并存储在输出向量中。

**示例** 

考虑如下稀疏矩阵：

row_ind = [0, 0, 1, 2]
col_ind = [0, 2, 2, 1]
vals = [4, 2, 3, 1]

该矩阵表示如下：

4 0 2
0 0 3
0 1 0

该矩阵的逆置矩阵可以通过如下三步来计算：

row_ind_t = [0, 0, 1, 1]
col_ind_t = [0, 2, 0, 2]
vals_t = [4, 2, 3, 1]

该逆置矩阵表示如下：

4 0
0 3
2 1

考虑如下第二个稀疏矩阵：

row_ind_b = [0, 1, 2]
col_ind_b = [0, 1, 1]
vals_b = [2, 1, 3]

该矩阵表示如下：

2 1 0
0 1 3
0 0 0

这两个稀疏矩阵的加法可以通过如下三步来计算：

row_ind_c = [0, 0, 1, 1, 2]
col_ind_c = [0, 2, 0, 1, 1]
vals_c = [6, 2, 3, 2, 3]

该加法矩阵表示如下：

6 1 2
0 2 6
0 1 0

稀疏矩阵与稠密向量的乘法可以通过如下三步来计算：

row_ind_d = [0, 0, 1, 2]
col_ind_d = [0, 2, 2, 1]
vals_d = [4, 8, 3, 1]

乘法运算的输出向量表示如下：

10
6

**结论** 

稀疏矩阵三元组是一种存储稀疏矩阵的有效数据结构。逆置、加法和乘法是稀疏矩阵三元组中常见的基本运算，可以通过相对较少的复杂度来高效地进行这些运算。稀疏矩阵三元组及其相关的运算在许多科学计算和工程问题中都有着广泛的应用程序。