秒懂垂直直线与直线间的距离运算方法

垂直直线与直线间的距离公式
假设有垂直的两条直线AB、CD，如图1所示。为了计算AB与CD之间的距离，我们需要找到同时垂直于AB、CD的直线CE。

1. 叉乘法

叉乘是一种运算，它可以用来求解两个向量的垂直向量。假设AB上的一个点为A(x1, y1)，CD上的一个点为C(x2, y2)，那么叉乘公式如下：

AC = (x2 - x1)i + (y2 - y1)j

其中，i和j分别表示单位向量，(x2 - x1)和(y2 - y1)分别表示x轴和y轴上的距离。

2. 行列式法

叉乘也可以用行列式来计算，公式如下：

| i  j  0 |
| x2 x1 1 |
| y2 y1 1 |

如果叉乘的结果不为0，则说明AB和CD垂直。

3. 距离公式

如果AB和CD垂直，那么我们可以求出点A到直线CD的距离。假设点A到CD的距离为d，那么d可以由以下公式计算：

d = |AC x CE| / |CE|

其中，AC x CE是AC与CE的叉乘，|AC x CE|表示叉乘的模，|CE|表示CE的模。

平行直线与直线间的距离公式

如果AB和CD平行，那么叉乘的结果为0。此时，我们可以直接求直线AB上任意一点到CD的距离。假设点A(x1, y1)是AB上的一个点，直线CD的方程为y = mx + b，那么点A到直线CD的距离d可以由以下公式计算：

d = |y1 - (mx1 + b)| / √(1 + m^2)

举例说明

假设我们有两个垂直的直线AB和CD，AB上的点A(1, 2)，CD上的点C(3, 4)。那么，AB与CD之间的距离是多少呢？

1. 叉乘法

AC = (3 - 1)i + (4 - 2)j = 2i + 2j

| i  j  0 |
| 2  1  1 |
| 2  2  1 |

叉乘的结果不为0，所以AB和CD垂直。

2. 行列式法

| 2  2 |
| 2  2 |

行列式的结果不为0，所以AB和CD垂直。

3. 距离公式

d = |AC x CE| / |CE|

首先，我们求出CE的模：

|CE| = √((3 - 1)^2 + (4 - 2)^2) = √(4 + 4) = √8 = 2√2

然后，我们求出AC x CE的模：

|AC x CE| = |(2i + 2j) x (i + j)| = |2i - 2j| = √(2^2 + (-2)^2) = 2√2

最后，我们可以求出AB与CD之间的距离：

d = 2√2 / 2√2 = 1

因此，AB与CD之间的距离为1。