动态规划之最长递增子序列

2023-10-07 10:56:59

最长递增子序列：理解动态规划与二分查找

什么是最长递增子序列？

想象一下你有一个数字序列，比如 [5, 2, 8, 3, 10, 15, 4, 6, 11]。其中的最长递增子序列是 [2, 3, 4, 6, 10, 11, 15]。它是一个子序列（取自原始序列的元素），其元素依次增大，但不必连续。找到最长递增子序列对于解决各种实际问题很有用，比如股票交易或日程安排。

解决方法：动态规划与二分查找

解决最长递增子序列问题有两种主要方法：动态规划和二分查找。让我们深入探讨每种方法。

动态规划

动态规划是一种分而治之的方法，将问题分解成较小的子问题，然后逐步求解。对于最长递增子序列问题，我们可以定义一个状态转移方程：

dp[i] = max(dp[j] + 1) for all j < i and nums[j] < nums[i]

其中，dp[i] 表示以第 i 个元素结尾的最长递增子序列的长度。我们从 dp[0] = 1 开始，逐步计算 dp[1]、dp[2]，依此类推，直到得到 dp[n-1]。

代码示例：

def longest_increasing_subsequence(nums):
  n = len(nums)
  dp = [1] * n

  for i in range(1, n):
    for j in range(i):
      if nums[j] < nums[i]:
        dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)

  return max(dp)

二分查找

二分查找是一种高效的搜索算法，它利用有序序列的特性。对于最长递增子序列问题，我们使用二分查找来找到当前最长递增子序列的最后一个元素。然后，我们将这个元素添加到当前最长递增子序列中，并重复这个过程，直到找到最长递增子序列。

代码示例：

def longest_increasing_subsequence(nums):
  n = len(nums)
  dp = [nums[0]]

  for i in range(1, n):
    if nums[i] > dp[-1]:
      dp.append(nums[i])
    else:
      index = bisect.bisect_left(dp, nums[i])
      dp[index] = nums[i]

  return len(dp)