面积并问题（HDU 1542 Atlantis）：巧妙分解，逐个击破，消灭重叠面积

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2023-11-27 03:57:58

引言：面积并问题概览

在计算机图形学和地理信息系统等领域，“面积并问题”是一个常见的挑战。顾名思义，它涉及计算一组几何形状（如矩形）的重叠区域的总面积，其中重叠部分仅计算一次。

解决面积并问题需要巧妙的算法和对几何原理的深刻理解。本文将通过剖析 HDU 1542 Atlantis 问题，引导你逐步掌握解决这类问题的技巧。

HDU 1542 Atlantis 问题陈述

HDU 1542 Atlantis 问题了这样一个场景：亚特兰蒂斯大陆上的失落城市有 N 座矩形建筑物，每座建筑物由其左下角和右上角的坐标定义。你的任务是计算这 N 座建筑物覆盖的总面积，其中重叠部分仅计算一次。

解决思路：分解与逐个击破

解决面积并问题的关键在于将其分解成更小的子问题。对于 HDU 1542 Atlantis 问题，我们可以采用以下步骤：

1. 扫描线法：

引入一条水平扫描线，从上到下逐行扫描整个区域。在每条扫描线上，我们关注与扫描线相交的所有矩形区域。

2. 排序矩形：

对于每条扫描线，我们将与之相交的矩形按其左端点进行排序。这将使我们能够有效地处理重叠区域。

3. 逐个击破重叠：

对于每对相邻的矩形，我们计算它们的重叠面积并从总面积中减去。由于矩形已经按左端点排序，我们可以通过比较它们的右端点来确定重叠区域。

4. 累加总面积：

随着扫描线的向下移动，我们将每次的重叠面积减去，并将剩余面积累加到总面积中。

示例代码：

以下是用 C++ 编写的 HDU 1542 Atlantis 问题的示例代码，它展示了上述步骤的实现：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

struct Rectangle {
    int x1, y1, x2, y2;
};

bool cmp(const Rectangle& a, const Rectangle& b) {
    return a.x1 < b.x1;
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;

    vector<Rectangle> rectangles(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> rectangles[i].x1 >> rectangles[i].y1 >> rectangles[i].x2 >> rectangles[i].y2;
    }

    sort(rectangles.begin(), rectangles.end(), cmp);

    int totalArea = 0;
    int previousRight = -1;
    for (int y = 0; y <= 1000; y++) {
        int currentRight = -1;
        for (const Rectangle& rect : rectangles) {
            if (rect.y1 <= y && rect.y2 >= y) {
                currentRight = max(currentRight, rect.x2);
            }
        }

        if (previousRight >= 0) {
            totalArea -= (previousRight - currentRight);
        }

        previousRight = currentRight;
    }

    cout << totalArea << endl;

    return 0;
}