算法的基石：递归和动态规划

2023-09-29 23:14:16

在计算机科学的浩瀚宇宙中，递归和动态规划犹如两颗璀璨的明珠，指引着程序员探索算法的奥秘。这两个概念看似复杂，但它们的精髓却能用一个简单的故事阐述。

想象一栋楼梯，每层台阶都代表一个问题。为了爬上这栋楼梯，你可以选择一步一步地走，也可以借助跳跃。递归就如同一步一步地走，它不断地把问题分解成更小的子问题，直到可以轻松解决。动态规划则更像是一种跳跃，它通过缓存已解决的子问题，避免重复计算。

递归：逐层探索的奥秘

递归是一种函数自调用的技术。当一个函数调用自身时，就会发生递归。这种自调用的过程就像一层一层地剥开洋葱，直到剩下最小的部分。

递归的一个经典例子是阶乘的计算。阶乘是将一个正整数乘以比它小的所有正整数的乘积。例如，5的阶乘（5!）等于5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120。

我们可以用递归来计算阶乘：

def factorial(n):
    if n == 1:
        return 1
    else:
        return n * factorial(n-1)

这个递归函数通过不断地调用自身来计算阶乘。当n等于1时，函数返回1。对于更大的n，函数将n乘以比它小的所有正整数的乘积，即n * factorial(n-1)。

动态规划：缓存已解决问题的智慧

动态规划是一种自顶向下的优化技术，它通过缓存已解决的子问题来避免重复计算。与递归不同，动态规划在解决子问题之前，会先检查这些子问题是否已经被解决过。

举个例子，我们想要计算斐波那契数列的第n项。斐波那契数列是一个数字序列，其中每一项都是前两项的和。前两项分别是0和1，之后每一项都是前两项的和。

def fibonacci(n):
    # 创建一个缓存列表，以存储已计算的结果
    cache = [0] * (n+1)
    
    # 如果第n项已缓存，则直接返回
    if cache[n] != 0:
        return cache[n]
    
    # 计算第n项并将其缓存
    if n <= 1:
        cache[n] = n
    else:
        cache[n] = fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)
    
    # 返回第n项
    return cache[n]