理解LeetCode每日一题172：揭示阶乘后的零的数学奥秘

后端

2023-09-18 17:57:36

导言：揭开谜团

在LeetCode每日一题172中，我们面临着一个看似简单的任务：计算一个给定正整数n的阶乘末尾有多少个零。然而，这个看似简单的谜团却隐藏着数学的奥秘。本文将深入探讨该题的解题思路，揭示阶乘尾部零的数学原理，助力您征服算法面试。

数学原理：追溯到偶数和5

要理解这个谜团背后的数学原理，我们需要回到基本知识。我们知道，10是由2和5相乘得到的，即10 = 2 × 5。因此，当我们计算阶乘时，只有包含偶数因子（即可以被2整除的数）和5的倍数的项才会产生尾部零。

思路：追踪偶数和5的倍数

基于上述原理，我们的解题思路就很清晰了：

统计阶乘中偶数的个数： 我们可以将n分解为质因数，统计其中2的个数。
统计阶乘中5的倍数的个数： 我们可以继续分解质因数，统计其中5的个数。
确定尾部零的个数： 尾部零的个数取决于偶数和5的倍数的最小个数。

示例：步步深入

示例1：计算5的阶乘

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1
偶数因子：2、4
5的倍数：5
最小个数：1（即5的个数）
尾部零的个数：1

示例2：计算10的阶乘

10! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
偶数因子：2、4、6、8、10
5的倍数：5、10
最小个数：2（即5的个数）
尾部零的个数：2

示例3：计算25的阶乘

25! = 25 × 24 × 23 × ... × 2 × 1
偶数因子：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24
5的倍数：5、10、15、20、25
最小个数：6（即5的个数）
尾部零的个数：6

代码实现：Python示例

def trailing_zeros(n):
    """
    计算阶乘后尾部零的个数

    :param n: 给定的正整数
    :return: 尾部零的个数
    """

    # 统计偶数的个数
    even_count = 0
    while n >= 2:
        n //= 2
        even_count += n

    # 统计5的倍数的个数
    five_count = 0
    while n >= 5:
        n //= 5
        five_count += n

    # 返回尾部零的个数
    return min(even_count, five_count)