数据结构与算法高楼丢鸡蛋（源自谷歌面试题）

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2023-11-18 04:15:38

从高楼扔鸡蛋问题：破解面试难题

在竞争激烈的科技行业，谷歌以其严苛的面试程序而闻名，尤其是在数据结构与算法方面。“从高楼扔鸡蛋” 是谷歌面试中经常出现的一个经典问题，它考验应聘者的解决问题能力和算法思维。

问题概述

假设有一栋高楼，有 N 层。你手上有一个鸡蛋，需要找出这栋楼的高度，但只能允许你扔鸡蛋 K 次。如果你从某一层扔鸡蛋，鸡蛋碎了，则说明这栋楼的高度小于或等于这一层；反之，如果鸡蛋没有碎，则说明这栋楼的高度大于这一层。

如何利用有限的鸡蛋次数，以最少的步骤找出这栋楼的高度呢？

递归解法

一种解决方法是使用递归。从一楼开始扔鸡蛋，如果鸡蛋碎了，则说明楼层数小于或等于一楼。如果鸡蛋没有碎，则从二楼扔鸡蛋，以此类推。这个过程将一直持续到鸡蛋碎掉或扔完 K 次。最终，记录鸡蛋碎掉的最高楼层，即为楼层数。

def drop_eggs_recursive(n, k):
  """
  从高楼扔鸡蛋问题，找出最坏情况下的最少鸡蛋次数。

  Args:
    n: 高楼的层数
    k: 鸡蛋的个数

  Returns:
    最少鸡蛋次数
  """

  if k == 0:
    return 0
  if n == 0:
    return 0
  if k == 1:
    return n

  min_eggs = float('inf')
  for i in range(1, n + 1):
    eggs_broken = drop_eggs_recursive(i - 1, k - 1)
    eggs_not_broken = drop_eggs_recursive(n - i, k)
    min_eggs = min(min_eggs, 1 + max(eggs_broken, eggs_not_broken))

  return min_eggs

动态规划解法

另一个更优化的解法是使用动态规划。定义一个二维数组 dp[i][j] ，其中 dp[i][j] 表示从第 i 层扔鸡蛋 j 次后，找出楼层数的最坏情况下的最少鸡蛋次数。

然后，我们可以使用动态规划的思想来求解 dp[i][j] ：

def drop_eggs_dp(n, k):
  """
  从高楼扔鸡蛋问题，找出最坏情况下的最少鸡蛋次数。

  Args:
    n: 高楼的层数
    k: 鸡蛋的个数

  Returns:
    最少鸡蛋次数
  """

  dp = [[0 for _ in range(k + 1)] for _ in range(n + 1)]

  for i in range(1, n + 1):
    dp[i][1] = i

  for j in range(2, k + 1):
    for i in range(1, n + 1):
      if i <= j:
        dp[i][j] = 1 + max(dp[i-1][j-1], dp[n-i][j])
      else:
        dp[i][j] = 1 + dp[n-i][j]

  return dp[n][k]