旋转图像的利器：一文看懂48题背后的解题技巧

引言

在算法和数据结构的世界里，旋转图像是一道经典且实用的问题。它不仅考验我们的算法设计能力，还对我们的空间复杂度优化提出了挑战。LeetCode第48题“旋转图像”便是这样一道考察旋转技巧的题型。在这篇文章中，我们将深入分析这道题目的解题方法，从多个角度剖析其背后的奥秘。

问题

给定一个n × n的二维矩阵matrix，代表一个图像。要求将这个图像顺时针旋转90度，并直接修改原有的矩阵。

解题思路

乍一看，旋转图像似乎是一项复杂的任务。但如果我们仔细分析，就会发现其中蕴藏着一些有趣的规律：

1. 分层旋转： 我们可以将矩阵想象成洋葱，一层一层地剥离。每一层都是一个正方形，我们可以先旋转这个正方形，然后再旋转下一层。
2. 对称交换： 对于每一层，我们可以先将对角线上的元素两两交换，然后再将每一行中的元素两两交换。这样，矩阵就能旋转90度了。

详细步骤

根据上述思路，我们可以将旋转图像的过程总结为以下几个步骤：

1. 确定矩阵的阶数n。
2. 依次遍历每一层（从外到内）：
   • 从第1行到第n-1行：
     • 从第1列到第n-1列：
       • 交换(i, j)和(n-1-j, i)处的元素（对角线交换）。
   • 从第1行到第n-1行：
     • 从第1列到第n/2列：
       • 交换(i, j)和(i, n-1-j)处的元素（行内交换）。

代码实现

以下代码展示了上述算法的Python实现：

def rotate_image(matrix):
  """
  旋转一个二维矩阵。

  参数：
    matrix (list): 二维矩阵。

  返回：
    None。
  """

  n = len(matrix)

  # 遍历每一层
  for i in range(n // 2):
    # 对角线交换
    for j in range(i, n - 1 - i):
      matrix[i][j], matrix[n - 1 - j][i] = matrix[n - 1 - j][i], matrix[i][j]

    # 行内交换
    for j in range(i, n // 2):
      matrix[i][j], matrix[i][n - 1 - j] = matrix[i][n - 1 - j], matrix[i][j]

**时间复杂度** 

旋转图像的算法时间复杂度为O(n^2)，其中n是矩阵的阶数。这是因为算法需要遍历每一层，每一层需要遍历每一行和每一列。

**空间复杂度** 

算法的空间复杂度为O(1)，因为它不需要额外的空间来存储中间结果。

**总结** 

旋转图像是一道经典的算法题，它考验了我们的空间复杂度优化能力。通过分层旋转和对称交换这两个技巧，我们可以高效地原地旋转一个二维矩阵。本文深入探讨了这道题目的解题思路，并提供了详细的代码实现和分析，帮助你全面理解旋转图像的奥秘。