二分查找算法：在有序数组中高效搜索

见解分享

2023-10-28 08:06:01

二分查找：从头到尾的深入解析

简介

二分查找是一种强大的算法，用于在有序数组中高效查找元素。它以其快速的性能和易于实现而著称，使其成为许多计算机科学应用中的关键组件。在这篇博客中，我们将深入探讨二分查找的原理、工作方式、时间复杂度和实际应用。

二分查找的工作原理

二分查找基于"分而治之"的原则。它将搜索区间不断地分成两半，直到找到目标元素或确定元素不存在。

步骤：

初始化： 定义搜索区间的左边界和右边界。
计算中值： 计算搜索区间的中间索引。
比较： 将中间元素与目标元素进行比较。
更新边界： 根据比较结果更新左边界或右边界。
递归： 如果目标元素未找到，则在更新后的区间内重复步骤 2-4。
返回结果： 找到目标元素时返回其索引，否则返回 -1。

示例：

假设我们在一个包含元素 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 的数组中查找元素 4。

步骤 1： 将左边界设为 0，右边界设为 6。
步骤 2： 计算中值：(0 + 6) / 2 = 3。
步骤 3： 比较：arr[3] != 4。
步骤 4： 由于 arr[3] < 4，因此更新左边界为 4。
步骤 5： 再次计算中值：(4 + 6) / 2 = 5。
步骤 6： 比较：arr[5] == 4。
步骤 7： 找到目标元素，返回索引 5。

时间复杂度

二分查找的时间复杂度为 O(logN)，其中 N 是数组中的元素数量。这是因为每次迭代都会将搜索区间减半，从而有效地将搜索空间每次缩小一半。

实际应用

二分查找在许多实际应用中都很有用，包括：

在排序数据集中查找元素
查找有序数组中的最大值或最小值
在有序数据集中插入或删除元素
解决各种优化和搜索问题

LeetCode 练习

33. 搜索旋转排序数组

LeetCode 上有一个关于二分查找的经典练习题：给定一个有序数组，该数组已被旋转，请找出目标元素。

解法：

这道题的解法涉及到修改二分查找算法，以适应旋转数组的特性。有关详细信息，请参阅 LeetCode 题解。

代码示例（Java）

public int binarySearch(int[] arr, int x) {
    int l = 0;
    int h = arr.length - 1;

    while (l <= h) {
        int m = (l + h) / 2;

        if (arr[m] == x) {
            return m;
        } else if (arr[m] < x) {
            l = m + 1;
        } else {
            h = m - 1;
        }
    }

    return -1; // 元素不存在
}

常见问题解答

什么是二分查找的递归版本？

递归版本二分查找如下：

public int binarySearch(int[] arr, int x, int l, int h) {
    if (l > h) {
        return -1;
    }

    int m = (l + h) / 2;

    if (arr[m] == x) {
        return m;
    } else if (arr[m] < x) {
        return binarySearch(arr, x, m + 1, h);
    } else {
        return binarySearch(arr, x, l, m - 1);
    }
}