点到射线的最近点
在三维空间中，给定一个点P和一条射线\overrightarrow{PQ}，其中\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ}，我们希望找到点P到射线\overrightarrow{PQ}的最近点Q。
计算公式
点P到射线\overrightarrow{PQ}的最近点Q的计算公式为：
Q = P + \frac{(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ})\cdot\overrightarrow{PQ}}{\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{PQ}}\overrightarrow{PQ}
证明
设Q是点P到射线\overrightarrow{PQ}的最近点。则\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{PQ}=|\overrightarrow{PQ}|^2，且\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ}垂直于\overrightarrow{PQ}。因此，我们可以得到：
(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ})\cdot\overrightarrow{PQ}=0
解得：
\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ}=\lambda\overrightarrow{PQ}
其中，\lambda是一个实数。
将\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ}=\lambda\overrightarrow{PQ}代入公式\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ}，可得：
\overrightarrow{PQ}=(1+\lambda)\overrightarrow{PQ}
解得：
\lambda=-1
将\lambda=-1代入公式\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ}=\lambda\overrightarrow{PQ}，可得：
\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ}=-\overrightarrow{PQ}
解得：
Q = P + \frac{(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ})\cdot\overrightarrow{PQ}}{\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{PQ}}\overrightarrow{PQ}
点与射线之间的距离
点P与射线\overrightarrow{PQ}之间的距离为：
d = |\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ}|
示例
给定点P(1, 2, 3)和射线\overrightarrow{PQ}=\langle 2, -1, 1\rangle，求点P到射线\overrightarrow{PQ}的最近点Q和点P与射线\overrightarrow{PQ}之间的距离。
解：
点P到射线\overrightarrow{PQ}的最近点Q的坐标为：
Q = P + \frac{(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ})\cdot\overrightarrow{PQ}}{\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{PQ}}\overrightarrow{PQ}
Q = (1, 2, 3) + \frac{\langle 1, 2, 3\rangle\cdot\langle 2, -1, 1\rangle}{\langle 2, -1, 1\rangle\cdot\langle 2, -1, 1\rangle}\langle 2, -1, 1\rangle
Q = (1, 2, 3) + \frac{4}{6}\langle 2, -1, 1\rangle
Q = (1, 2, 3) + \frac{2}{3}\langle 2, -1, 1\rangle
Q = \left(1+\frac{4}{3}, 2-\frac{2}{3}, 3+\frac{2}{3}\right)
Q = \left(\frac{7}{3}, \frac{4}{3}, \frac{11}{3}\right)
点P与射线\overrightarrow{PQ}之间的距离为：
d = |\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ}|
d = |\langle 1, 2, 3\rangle-\langle \frac{7}{3}, \frac{4}{3}, \frac{11}{3}\rangle|
d = |\langle -\frac{4}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{2}{3}\rangle|
d = \sqrt{\left(-\frac{4}{3}\right)^2+\left(\frac{2}{3}\right)^2+\left(-\frac{2}{3}\right)^2}
d = \sqrt{\frac{16}{9}+\frac{4}{9}+\frac{4}{9}}
d = \sqrt{\frac{24}{9}}
d = \frac{2\sqrt{6}}{3}
如何使用点乘来确定点在正方向还是负方向
给定点P和射线\overrightarrow{PQ}，我们可以使用点乘来确定点P在射线\overrightarrow{PQ}的正方向还是负方向。
- 计算向量\overrightarrow{OP}和\overrightarrow{PQ}的点乘：
\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{PQ}=|\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{PQ}|\cos\theta
其中，\theta是向量\overrightarrow{OP}和\overrightarrow{PQ}之间的夹角。
- 如果\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{PQ}>0，则点P在射线\overrightarrow{PQ}的正方向。
- 如果\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{PQ}<0，则点P在射线\overrightarrow{PQ}的负方向。
- 如果\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{PQ}=0，则点P在射线\overrightarrow{PQ}上。
