携手征服 LeetCode 2304：步步为营，优化路径，共赴胜利！

征服 LeetCode 2304：动态规划的登峰造极之路

在程序员的世界中，LeetCode 宛如一座巍峨的高峰，吸引着无数勇士前赴后继，攀登它的险峻山脊。而 LeetCode 2304 题，则是这山峰上的一颗璀璨明珠，等待着有志者去挖掘它的光辉。

题意探究：挑战之源

踏上征程之前，我们先来了解一下 LeetCode 2304 题的具体内容。

给定一个网格 grid，其中每个单元格都包含一个非负整数，以及一个整数 K。我们的目标是从网格的左上角出发，移动到右下角，过程中只能向下或向右移动。而且，在每个单元格中，我们最多可以将该单元格的值增加 K 次。

我们的任务是找到一条从左上角到右下角的路径，使得路径上所有单元格中的值之和最小。

算法解析：动态规划的妙手

面对这一挑战，我们祭出动态规划这柄利剑，它能将复杂问题分解成一系列子问题，逐一击破。

对于 LeetCode 2304 题，我们可以将网格划分为多个子问题，每个子问题对应着从左上角到某个单元格的最小路径和。

我们先从最简单的情况入手：从左上角到右上角的最小路径和。这个子问题可以通过暴力搜索解决，但时间复杂度太高，显然不符合要求。

因此，我们需要使用动态规划优化求解过程。我们定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示从左上角到单元格 (i, j) 的最小路径和。

我们首先将 dp[0][0] 初始化为 0，然后依次计算每一行的 dp 值。对于每一行，我们从左到右计算每个单元格的 dp 值。对于单元格 (i, j)，我们可以通过以下公式计算其 dp 值：

dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]

Python 实现：代码的舞步

有了动态规划算法的加持，我们用 Python 语言将其代码化，如下所示：

def min_path_cost(grid, K):
    """
    :type grid: List[List[int]]
    :type K: int
    :rtype: int
    """
    m, n = len(grid), len(grid[0])
    dp = [[float('inf')] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
    dp[0][0] = 0

    for i in range(m):
        for j in range(n):
            for k in range(K + 1):
                if i > 0:
                    dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i-1][j] + max(0, grid[i][j] - k))
                if j > 0:
                    dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][j-1] + max(0, grid[i][j] - k))

    return dp[m-1][n-1]

回首征程：登顶的喜悦

至此，我们顺利通过动态规划算法征服了 LeetCode 2304 题，找到了从左上角到右下角的最小路径和。

这次征程，让我们领略到了动态规划的强大威力，它将原本复杂的难题分解为易于解决的子问题，层层递进，最终取得胜利。

常见问题解答：拨云见日

1. 为什么需要使用 K

K 的引入允许我们在单元格值上进行有限的修改，为问题增加了一定的灵活性，使得我们可以找到更优的路径。

2. 如何理解动态规划的递推关系

递推关系中，dp[i][j] 表示从左上角到单元格 (i, j) 的最小路径和，它依赖于其上方的单元格 dp[i-1][j] 和左方的单元格 dp[i][j-1] 的最小路径和，再加上当前单元格 grid[i][j] 的值。

3. 如何处理超出 K 的单元格值

当单元格值减去 K 小于 0 时，我们将其值设为 0，因为此时增加该单元格值不会减少路径和。

4. 如何优化代码

为了优化代码，我们可以使用滚动数组来节省空间，将二维数组优化为一维数组。

5. 动态规划的适用场景

动态规划适用于解决具有重叠子问题的最优化问题，比如最长公共子序列、背包问题等。

结语：登峰造极，再攀高峰

征服 LeetCode 2304 题，只是我们编程征程上的一个小小里程碑。还有更多的挑战等待着我们去探索和征服。

希望这篇博客能为你的 LeetCode 之旅增添一份助力，让你在编程的道路上披荆斩棘，所向披靡！