**kiner 的算法刷题记 (5)：Heap 与优先队列（数据结构基础篇）**

完全二叉树的回顾

在上一篇文章中，我们讨论了完全二叉树的一些基本概念。完全二叉树是一种特殊的二叉树，它具有以下特性：

• 除了最后一层之外，每一层都是完全填充的。
• 最后一层的节点都集中在最左边。

堆的基本原理

Heap 是一种特殊的完全二叉树，其满足以下附加性质：

• 堆序性质： 对于每个节点及其子节点，父节点的值始终大于或等于子节点的值（对于最小堆）或小于或等于子节点的值（对于最大堆）。

Heap 的类型

有两种主要类型的 Heap：

• 最小堆： 根节点包含最小的值，每个父节点的值都大于或等于其子节点。
• 最大堆： 根节点包含最大的值，每个父节点的值都小于或等于其子节点。

Heap 的操作

常见用于 Heap 的操作包括：

• 插入： 将一个元素插入 Heap，同时保持堆序性质。
• 删除： 从 Heap 中删除根节点，同时保持堆序性质。
• 查找： 查找 Heap 中的最小（或最大）值。

优先队列

优先队列是一种数据结构，其遵循以下规则：

• 元素被分配一个优先级。
• 优先级最高的元素始终处于队列的开头。

Heap 通常被用来实现优先队列，因为它们可以在对数时间复杂度内执行插入、删除和查找操作。

应用：堆排序

堆排序是一种使用 Heap 进行排序的算法。其步骤如下：

1. 将输入数组构建成一个 Heap。
2. 重复以下步骤：
   • 从 Heap 中删除根节点（最小或最大值）。
   • 将根节点添加到输出数组。
   • 重新调整剩余的 Heap 以保持堆序性质。

示例和代码

为了进一步理解 Heap 和优先队列，我们来看一个示例。

考虑一个最小堆，其中元素的值为 [4, 2, 9, 7, 5, 8]。以下是如何将数组构建成一个最小堆：

        2
       / \
      4   9
     / \   \
    7   5   8

要从这个最小堆中删除根节点（2），我们可以按照以下步骤操作：

1. 将最后一个元素（8）移动到根节点的位置。
2. 将新根节点与它的子节点（4 和 7）进行比较。
3. 将 4 移到 8 的位置，将 8 移到 7 的位置。
4. 重复步骤 2-3，直到新根节点位于其正确的位置。

最终，最小堆变为：

        4
       / \
      7   9
     / \   \
    2   5   8

结论

Heap 和优先队列是数据结构中重要的概念，它们在各种应用中都有广泛的应用。通过理解它们的特性和操作，我们可以有效地使用它们来解决实际问题。