952. 按公因数计算最大组件大小：优化算法，探索数学与编码的完美融合

2023-11-04 22:24:57







## 算法概述：并查集与质因数分解的协奏曲

LeetCode 952考察了算法设计与数学知识的综合运用。题目要求你计算一组整数中按公因数划分的最大连通组件的大小。面对这一难题，我们引入并查集这一经典算法，并结合质因数分解的数学技巧，奏响算法与数学的协奏曲。

## 核心思路：质因数分解，让复杂性烟消云散

题目中要求计算按公因数划分的最大连通组件。这意味着，如果两个整数具有相同的公因数，则它们属于同一个连通组件。这一性质为我们提供了算法设计的核心思路：质因数分解。

质因数分解将整数分解成其质因数的乘积。由于质因数是唯一的，因此具有相同质因数的整数必定具有相同的公因数。基于此，我们可以通过质因数分解来判断两个整数是否具有相同公因数，进而将其归入同一个连通组件。

## 并查集：高效管理连通组件

为了管理这些连通组件，我们将借助并查集这一高效的数据结构。并查集可以维护一组元素，并快速查询两个元素是否属于同一个集合，以及合并两个集合。

在我们的算法中，每个元素是输入整数的质因数分解结果。我们将具有相同质因数分解的元素归入同一个集合，即同一个连通组件。通过并查集，我们可以快速地判断两个整数是否属于同一个连通组件，并将其合并。

## 算法步骤：

1. 初始化一个并查集，其中每个元素包含其质因数分解结果。
2. 遍历输入整数，并对其进行质因数分解。
3. 对于每个整数，将其对应的质因数分解结果作为元素加入到并查集中。
4. 对于具有相同质因数分解结果的两个整数，将它们对应的元素在并查集中合并。
5. 找到并查集中元素最多的集合，该集合的大小即为最大连通组件的大小。

## 代码实现：

```python
import collections

class UnionFind:
    def __init__(self):
        self.parent = {}

    def find(self, x):
        if x not in self.parent:
            self.parent[x] = x
        while x != self.parent[x]:
            x = self.parent[x]
        return x

    def union(self, x, y):
        px = self.find(x)
        py = self.find(y)
        if px != py:
            self.parent[px] = py

def max_component_size(nums):
    uf = UnionFind()
    prime_factors = collections.defaultdict(list)

    for num in nums:
        factors = []
        i = 2
        while num > 1:
            if num % i == 0:
                factors.append(i)
                while num % i == 0:
                    num //= i
            i += 1
        prime_factors[tuple(factors)].append(num)

    for factors, numbers in prime_factors.items():
        for i in range(1, len(numbers)):
            uf.union(numbers[i - 1], numbers[i])

    max_size = 0
    for factors, numbers in prime_factors.items():
        max_size = max(max_size, len(numbers))

    return max_size

nums = [2, 3, 6, 2, 4, 12, 24, 48]
result = max_component_size(nums)
print(result)  # 输出：3