细说安装栅栏难题：凸包的妙用

1. 凸包是什么？

在计算机几何学中，凸包是指一个给定点集的最小凸多边形。对于任意两个点集中的点，如果它们之间的连线完全包含在凸包中，那么这个凸包就是给定点集的最小凸包。

2. 安装栅栏问题

“安装栅栏”问题是LeetCode上的第587题，难度为困难。问题如下：

给定一组点，表示一个二维平面上的围栏柱子的位置。你需要在围栏周围安装一圈栅栏，使得栅栏的总长度最短。

3. 凸包在“安装栅栏”问题中的应用

我们可以利用凸包来解决“安装栅栏”问题。具体步骤如下：

1. 计算给定点集的凸包。
2. 将凸包上的点按照顺时针或逆时针顺序排列。
3. 计算凸包上相邻两点之间的距离，并累加得到栅栏的总长度。

4. 算法步骤

1. 输入平面上的点集。
2. 计算凸包。
3. 将凸包上的点按照顺时针或逆时针顺序排列。
4. 计算凸包上相邻两点之间的距离，并累加得到栅栏的总长度。

5. 示例代码

def min_fence_length(points):
  """
  计算给定点集的最小栅栏长度。

  Args:
    points: 二维平面上的点集，表示围栏柱子的位置。

  Returns:
    栅栏的最小长度。
  """

  # 计算凸包。
  convex_hull = convex_hull(points)

  # 将凸包上的点按照顺时针或逆时针顺序排列。
  convex_hull_points = [point for point in convex_hull]

  # 计算凸包上相邻两点之间的距离，并累加得到栅栏的总长度。
  total_length = 0
  for i in range(len(convex_hull_points)):
    total_length += distance(convex_hull_points[i], convex_hull_points[(i + 1) % len(convex_hull_points)])

  return total_length


def convex_hull(points):
  """
  计算给定点集的凸包。

  Args:
    points: 二维平面上的点集。

  Returns:
    凸包。
  """

  # 如果点集为空，则返回空凸包。
  if not points:
    return []

  # 找到点集中最左边的点。
  leftmost_point = points[0]
  for point in points:
    if point[0] < leftmost_point[0]:
      leftmost_point = point

  # 将点集按照极角从小到大排序。
  points.sort(key=lambda point: math.atan2(point[1] - leftmost_point[1], point[0] - leftmost_point[0]))

  # 初始化凸包。
  convex_hull = [leftmost_point]

  # 遍历点集。
  for point in points:
    # 如果当前点在凸包的最后一个点和倒数第二个点构成的直线左侧，则将当前点加入凸包。
    while len(convex_hull) >= 2 and cross_product(convex_hull[-2], convex_hull[-1], point) > 0:
      convex_hull.pop()
    convex_hull.append(point)

  # 返回凸包。
  return convex_hull


def cross_product(point1, point2, point3):
  """
  计算三个点构成的向量的叉积。

  Args:
    point1, point2, point3: 三个点。

  Returns:
    叉积。
  """

  x1, y1 = point1
  x2, y2 = point2
  x3, y3 = point3

  return (x2 - x1) * (y3 - y1) - (y2 - y1) * (x3 - x1)


def distance(point1, point2):
  """
  计算两个点之间的距离。

  Args:
    point1, point2: 两个点。

  Returns:
    距离。
  """

  x1, y1 = point1
  x2, y2 = point2

  return math.sqrt((x2 - x1)**2 + (y2 - y1)** 2)