初学算法不必焦虑，掌握前缀和惊艳众人

后端

2024-01-17 07:35:56

前缀和算法：高效解决难题的利器

一、前缀和简介：巧妙简化难题

前缀和是一种简单而巧妙的数据结构，它通过累加数组中的所有元素形成一个新数组，让我们可以高效地查找连续子数组的和。它的优点在于，它只需进行一次预处理，便可支持后续一系列的查询，避免了重复计算，大大提升了效率。

二、前缀和算法：实现原理

1. 预处理

创建一个与原数组大小相同的前缀和数组 prefixSum。
将原数组第一个元素赋值给 prefixSum 的第一个元素。
对于原数组中后续每个元素，将其加上前一个 prefixSum 元素的值，存储在当前 prefixSum 元素中。

2. 查询

给定一段连续子数组 [l, r]，计算其和。
返回 prefixSum[r] - prefixSum[l-1]。

三、前缀和妙用：解决各种难题

前缀和算法在算法领域有着广泛的应用，以下是一些经典案例：

求连续子数组的最大和 ：使用前缀和，我们可以在线性时间复杂度内找到数组中连续子数组的最大和。
求连续子数组的最小和 ：类似地，使用前缀和，我们可以在线性时间复杂度内找到数组中连续子数组的最小和。
计算逆序对的个数 ：使用前缀和，我们可以在线性时间复杂度内计算一个数组中逆序对的个数。
求区间和 ：使用前缀和，我们可以在线性时间复杂度内计算一个数组中任意一段连续子数组的和。

代码示例：

def prefix_sum(nums):
  """
  预处理，计算前缀和数组。

  参数：
    nums：原数组。

  返回：
    前缀和数组。
  """

  prefix_sum = [0] * len(nums)
  prefix_sum[0] = nums[0]
  for i in range(1, len(nums)):
    prefix_sum[i] = prefix_sum[i-1] + nums[i]
  return prefix_sum


def query_sum(prefix_sum, l, r):
  """
  查询一段连续子数组的和。

  参数：
    prefix_sum：前缀和数组。
    l：子数组的左边界（包含）。
    r：子数组的右边界（包含）。

  返回：
    子数组的和。
  """

  return prefix_sum[r] - prefix_sum[l-1]