二叉树最大路径合集，轻松一网打尽！

后端

2023-08-14 16:00:45

二叉树中的最大路径和：深入剖析动态规划、分治和 DFS 算法

一、算法简介

在二叉树中寻找最大路径和是一项常见的算法挑战，它要求我们确定从树根到叶子的路径，使其路径和最大。路径定义为连续节点的序列，路径和是指沿该路径上所有节点值的总和。本文将深入探讨三种解决此问题的有效算法：动态规划、分治和 DFS。

二、动态规划算法

动态规划是一种自底向上的方法，它将问题分解为较小的子问题，并逐步求解。在最大路径和问题中，我们定义一个子问题：以特定节点为结尾的最大路径和。

算法步骤：

从树的叶节点开始，计算每个节点的路径和（仅包含该节点本身）。
对于每个内部节点，将其左右子树的最大路径和与它自己的值相加，以得到以该节点为结尾的最大路径和。
同时跟踪包含每个节点的最大路径和，即左右子树最大路径和的总和加上该节点的值。
最终，树根的路径和即为二叉树的最大路径和。

三、分治算法

分治算法遵循自顶向下的方法，它将问题分解为较小的子问题，然后合并这些子问题的解决方案。

算法步骤：

对于给定的二叉树，计算其左右子树的最大路径和。
计算包含当前节点的最大路径和，即左右子树最大路径和的总和加上当前节点的值。
确定以当前节点为结尾的最大路径和，即左子树最大路径和与右子树最大路径和中较大的一个。
返回以当前节点为结尾的最大路径和和包含当前节点的最大路径和。
递归地应用这些步骤，直到到达树根。

四、DFS 算法

DFS（深度优先搜索）是一种遍历二叉树的方法，它通过深度优先的顺序遍历节点，即先遍历左子树，再遍历右子树。

算法步骤：

对于给定的二叉树，计算其左右子树的最大路径和。
计算以当前节点为结尾的最大路径和，即左子树最大路径和与右子树最大路径和中较大的一个加上当前节点的值。
计算包含当前节点的最大路径和，即以当前节点为结尾的最大路径和与左右子树最大路径和的总和加上当前节点的值中较大的一个。
返回以当前节点为结尾的最大路径和和包含当前节点的最大路径和。
递归地应用这些步骤，直到到达树根。

五、代码示例

以下是使用动态规划算法解决二叉树最大路径和问题的 Java 代码示例：

class ResultType {
    int path; // 以当前节点为结尾的最大路径和
    int max; // 包含当前节点的最大路径和

    public ResultType(int path, int max) {
        this.path = path;
        this.max = max;
    }
}

public int maxPathSum(TreeNode root) {
    return maxPathSumHelper(root).max;
}

private ResultType maxPathSumHelper(TreeNode root) {
    if (root == null) {
        return new ResultType(0, Integer.MIN_VALUE);
    }
    ResultType left = maxPathSumHelper(root.left);
    ResultType right = maxPathSumHelper(root.right);

    int path = root.val;
    path = Math.max(path, left.path + root.val);
    path = Math.max(path, right.path + root.val);

    int max = root.val;
    max = Math.max(max, left.max + root.val + right.max);

    return new ResultType(path, max);
}