楼教主男人的八题（第二题）

见解分享

2024-02-02 06:41:51

POJ 1741 Tree 男人第二题：算法竞赛中的动态规划之美

概要

对于算法爱好者而言，算法和数据结构是必备武器。作为算法练习的经典平台，POJ（Problem of the Day）提供了一系列优质题目供程序员磨练技能。本文将深入剖析 POJ 1741 Tree 男人第二题，带领大家领略算法竞赛的魅力。

问题陈述

给定一棵包含 n 个节点的树，每个节点都有一个权值。我们的任务是找到一个连通子图，满足以下条件：

子图中所有节点的权值和为正数。
子图中节点数量最多。

如果有多个满足条件的子图，选择其中权值和最大的一个。

算法分析

本题的关键在于如何高效地找出所有满足条件的子图，并从中选择最优解。我们可以采用动态规划的方法，定义状态 dp[i][j]，表示以节点 i 为根的子树中，选择 j 个节点的最大权值和。

状态转移方程

状态转移方程如下：

dp[i][j] = max{dp[i][j-1], dp[i][j], dp[i][j] + dp[son[i]][k]} (0<=k<=j)

其中，son[i] 表示节点 i 的所有子节点。

直观理解

该方程可以直观地理解为：以节点 i 为根的子树中选择 j 个节点，有以下三种可能：

不选择节点 i，即 dp[i][j-1]。
选择节点 i，即 dp[i][j]。
选择节点 i，并从其子树中选择 k 个节点，即 dp[i][j] + dp[son[i]][k]。

代码实现

以下为 C++ 代码实现：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 1005;
int n, m;
int w[MAXN];
int dp[MAXN][MAXN];
vector<int> G[MAXN];

void dfs(int u, int fa) {
    dp[u][0] = 0;
    dp[u][1] = w[u];
    for (int i = 0; i < G[u].size(); i++) {
        int v = G[u][i];
        if (v == fa) continue;
        dfs(v, u);
        for (int j = m; j >= 1; j--) {
            for (int k = 0; k < j; k++) {
                dp[u][j] = max(dp[u][j], dp[u][j-k] + dp[v][k]);
            }
        }
    }
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> w[i];
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        G[u].push_back(v);
        G[v].push_back(u);
    }
    dfs(1, 0);
    cout << dp[1][m] << endl;
    return 0;
}