领略动态规划：解决 leetcode 爬楼梯难题

前言：算法的魅力

算法宛若计算机世界中的魔法师，赋予机器解决复杂问题的能力。从搜索引擎到在线购物，算法无处不在，极大地影响着我们的数字生活。而动态规划作为一种强大的算法范式，在解决各类优化问题上展现出非凡的效力。

认识爬楼梯难题

leetcode 爬楼梯难题要求我们计算爬上 n 级楼梯的不同方式。每一步可以迈出 1 级或 2 级台阶。乍一看，这似乎是一个简单的计数问题，但当楼梯级数变得庞大时，直接计数法将变得极度低效。

动态规划的闪亮登場

此时，动态规划闪亮登場。动态规划是一种自顶向下的算法策略，将大问题分解为一系列子问题，并逐一解决。对于爬楼梯问题，我们可以将问题分解为：

f(n) = f(n-1) + f(n-2)

其中，f(n) 表示爬上 n 级楼梯的不同方式，f(n-1) 表示爬上 n-1 级楼梯的不同方式，f(n-2) 表示爬上 n-2 级楼梯的不同方式。

备忘录法：避免重复计算

为了避免重复计算子问题，我们可以使用备忘录法。备忘录法是一种缓存机制，将已解决的子问题的解存储起来，以便后续快速查询。在爬楼梯问题中，备忘录可以记录每个楼梯级数的不同爬法数量。

递推关系：步步为营

根据动态规划的思想，我们可以建立如下递推关系：

f(0) = 1
f(1) = 1
f(n) = f(n-1) + f(n-2)

其中，f(0) 和 f(1) 的值分别为 1，表示爬上 0 级或 1 级楼梯只有一种方法。

优化算法：节省空间

随着楼梯级数的增大，备忘录的大小也会随之膨胀。为了节省空间，我们可以采用优化算法。优化算法只存储当前子问题的解和前一个子问题的解，从而将空间复杂度从 O(n) 降低到 O(1)。

代码实现：清晰明了

const climbStairs = (n) => {
  const dp = [1, 1];
  for (let i = 2; i <= n; i++) {
    dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
  }
  return dp[n];
};

示例解析：层层递进

假设我们想计算爬上 4 级楼梯的不同方式。

• 第一步： 将问题分解为 f(4) = f(3) + f(2)。
• 第二步： 查询备忘录，发现 f(3) 和 f(2) 均未被计算。
• 第三步： 根据递推关系，计算 f(3) = f(2) + f(1) = 2，f(2) = f(1) + f(0) = 1。
• 第四步： 更新备忘录，将 f(3) 和 f(2) 的值分别存储为 2 和 1。
• 第五步： 计算 f(4) = f(3) + f(2) = 3。

结语：算法之美

动态规划揭示了算法之美，它将复杂问题分解为可管理的子问题，并通过备忘录法和递推关系高效地求解。爬楼梯难题只是动态规划应用的一个缩影，它在计算机科学和现实生活中都有着广泛的应用。