揭秘 LeetCode #1359：有效快递序列数目的数学奥秘

有效的快递序列数目：数学之美的探索

理解有效的快递序列

在繁忙的快递行业中，有效的快递序列至关重要。一个有效的快递序列是指一组订单，其中每个订单都恰好包含一次提货操作和一次送货操作。想象一个快递员，他要从客户那里取货并送货上门。如果他既不漏掉任何提货，也不遗漏任何送货，那么他就有了一个有效的快递序列。

从订单到排列

要计算有效快递序列的总数，我们需要跳出订单的视角，转而将问题转化为一个排列问题。具体来说，我们将每个订单视为一个配对，其中提货操作是配对的第一个元素，送货操作是配对的第二个元素。例如，对于 3 个订单，我们有以下配对：

• (提货1，送货1)
• (提货2，送货2)
• (提货3，送货3)

组合数学的妙用

有了这些配对，我们就可以运用组合数学的强大力量。我们使用以下公式来计算有效快递序列的总数：

有效快递序列数目 = n! / (2^n)

其中：

• n! 是 n 个元素的排列数
• 2^n 表示每个配对有 2 种排列方式（提货操作在前或送货操作在前）

证明

证明这个公式需要用到归纳法。对于基线情况 n = 1，公式显然成立，因为只有一个有效的快递序列。

对于归纳步骤，假设对于 n = k，公式成立，即有效快递序列数目为 k! / (2^k)。我们现在证明对于 n = k+1，公式也成立。

对于 n = k+1 的情况，我们将第 k+1 个订单视为一个新的配对 (提货 k+1，送货 k+1)。根据归纳假设，前 k 个订单的有效快递序列数目为 k! / (2^k)。现在，我们有 2 种方式将第 k+1 个订单插入这些序列中：

• 在任何两个现有的配对之间插入
• 作为第一个或最后一个配对

因此，对于 n = k+1，有效快递序列的总数为：

有效快递序列数目 = k! / (2^k) * 2(k+1) = (k+1)! / (2^(k+1))

这证明了公式对于 n = k+1 也成立，从而完成了归纳证明。

代码示例

有了公式，我们可以轻松地解决 LeetCode #1359 题「有效的快递序列数目」。代码如下：

def countOrders(n):
  """
  :type n: int
  :rtype: int
  """
  mod = 1000000007
  return (n! // (2 ** n)) % mod

总结

LeetCode #1359 题通过将订单转换为排列问题，揭示了组合数学的强大力量。通过运用排列和组合的原理，我们能够推导出一个简洁的公式来计算有效快递序列的总数。这种将抽象问题转化为数学模型的方法是解决复杂算法挑战的基石，也是计算机科学中不可或缺的技能。

常见问题解答

1. 什么是有效的快递序列？

   • 一个有效的快递序列是一组订单，其中每个订单都恰好包含一次提货操作和一次送货操作。

2. 为什么有效快递序列的总数等于 n! / (2^n)？

   • 因为我们可以将每个订单视为一个配对，并且每个配对有 2 种排列方式。

3. 如何用代码解决 LeetCode #1359 题？

   • 我们可以使用以下代码：

   def countOrders(n):
      """
      :type n: int
      :rtype: int
      """
      mod = 1000000007
      return (n! // (2 ** n)) % mod
   

4. 组合数学在其他领域有哪些应用？

   • 组合数学在密码学、统计学和计算机科学等领域都有广泛的应用。

5. 如何提高我的数学技能？

   • 练习、学习和寻求帮助都是提高数学技能的好方法。