Swift 算法俱乐部：绘制最小生成树（未加权图）

什么是广度优先搜索 (BFS)？

广度优先搜索是一种用于遍历或搜索树、图形数据结构的算法。在寻找路径最短问题上，它优于深度优先搜索（DFS）。对于未加权图中的每个节点，BFS 找到从源点出发到达所有其他顶点的最短路径。

算法原理

未加权图指的是边没有权重的图形结构，在这种情况下，任何两个直接连接的节点之间的距离视为相等。最小生成树 (MST) 是一个无向连通图的所有顶点构成的一个子图，其中包含所有顶点且边的数量最少。

对于未加权图而言，最小生成树问题可以通过广度优先搜索算法来解决。BFS 算法从一个起始节点出发，逐步探索距离该节点最近的其它节点，并标记已访问过的节点以避免重复处理。此过程反复进行直至所有可到达的节点都被访问过。

实现步骤

1. 初始化：选择一个起始顶点作为根节点。
2. 遍历：使用队列来存储待处理的节点，每次从队列中取出一个节点并将其所有未被标记过的邻接节点加入队列，并同时将这些邻接节点标记为已访问。
3. 记录路径：在遍历过程中记录下每一步的选择过程，即每个节点是由哪个节点扩展而来。这步操作能够帮助我们构建最终的生成树。

Swift 实现代码示例

func bfsMST(_ graph: [[Int]], _ startVertex: Int) -> [Int] {
    var visited = Array(repeating: false, count: graph.count)
    var parent = Array(repeating: -1, count: graph.count)
    var queue = Queue<Int>()
    
    // 初始化队列和已访问数组
    queue.enqueue(startVertex)
    visited[startVertex] = true
    
    while let vertex = queue.dequeue() {
        for adjacent in 0..<graph[vertex].count where graph[vertex][adjacent] == 1 && !visited[adjacent] {
            queue.enqueue(adjacent)
            parent[adjacent] = vertex
            visited[adjacent] = true
        }
    }

    return parent
}

// 假设的图结构
let graph: [[Int]] = [
    [0, 1, 0, 0],
    [1, 0, 1, 1],
    [0, 1, 0, 1],
    [0, 1, 1, 0]
]

// 调用函数
let parents = bfsMST(graph, 0)
print(parents) // 输出最小生成树的父节点数组

此代码示例中，bfsMST 函数接收一个二维数组 graph 和起始顶点索引作为输入，并返回一个记录了每个顶点父节点的一维数组。这里假设图是未加权且无向的。

安全建议

• 保证图的数据结构准确反映了实际问题，避免因数据错误导致计算结果失效。
• 在处理大规模图时要注意内存和时间复杂度，确保算法能高效运行。
• 避免在多线程环境中共享非线程安全的状态信息（如 visited 数组），这可能导致竞态条件。

通过上述步骤及代码示例的详细解析，开发者可以更清晰地了解如何使用广度优先搜索算法来解决未加权图中的最小生成树问题。这种技术不仅在理论研究中有重要应用，在网络设计、设施规划等实际场景中同样发挥关键作用。