针锋相对，精益求精，用前缀和与二分法找出目标数字的范围

2024-02-17 13:24:30

探索前缀和与二分法的巧妙融合：在排序数组中高效查找元素

序章

踏入算法学习的浩瀚领域，算法就像锋利的宝剑，能够斩断繁复，直指问题的核心。在算法殿堂 LeetCode 中，一道经典难题——在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置，吸引了无数算法学习者的目光。这道难题看似复杂，但只要我们抽丝剥茧，就能发现它并非想象中那么难啃。

抽丝剥茧，寻根究底

首先，我们来拆解题目要求：给定一个按照升序排列的整数数组和一个目标值，找出目标值在数组中的起始和结束位置。如果数组中不存在目标值，则返回 [-1, -1]。

乍一看，我们可能会想到最直接的方法：遍历整个数组，逐个元素与目标值进行比较，直到找到目标值或遍历完整个数组。这种朴素算法虽然易于理解，但时间复杂度高达 O(n)，对于规模较大的数组来说，效率低下。

柳暗花明，异曲同工

算法学习的魅力就在于，总有柳暗花明又一村的惊喜。对于本题，我们可以巧妙地借助前缀和与二分法的结合，将时间复杂度优化到 O(log n)。

前缀和是一种数据结构，它存储数组中每个元素及其之前所有元素之和。利用前缀和，我们可以快速计算出数组中任意一段连续元素的和。

而二分法是一种搜索算法，它通过不断将搜索范围对半分，来快速找到目标元素。

步步为营，循序渐进

理解了前缀和与二分法的原理，我们就可以分步实现算法：

计算前缀和： 首先，我们计算数组的前缀和，存储每个元素及其之前所有元素之和。
二分查找目标值： 接下来，我们使用二分法在数组中查找目标值。
计算目标值范围： 找到目标值后，我们使用前缀和计算出目标值在数组中的起始和结束位置。

举一反三，触类旁通

为了加深对算法的理解，我们不妨举个例子：

nums = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
target = 5

计算前缀和：

prefix_sum = [1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45]

二分查找目标值：

left = 0
right = len(nums) - 1
while left <= right:
    mid = (left + right) // 2
    if nums[mid] == target:
        break
    elif nums[mid] < target:
        left = mid + 1
    else:
        right = mid - 1

计算目标值范围：

start = mid
while start >= 0 and nums[start] == target:
    start -= 1
start += 1

end = mid
while end < len(nums) and nums[end] == target:
    end += 1
end -= 1