泊松过程：一种对默认事件建模的方法

量化金融 板块 6 - 11 - 强度模型

如今，量化金融已成为金融业的核心竞争力，而强度模型则是量化金融中的重要工具，在板块6 - 11中，我们将详细介绍使用泊松过程对默认事件进行建模，假设随机利率和导出风险债券定价 PDE或随机默认强度。此外，我们还会审查可用于风险债券定价的常见回收假设。

在强度模型中，泊松过程是一种用于对默认事件建模的随机过程。泊松过程假设，在给定时间间隔内发生默认的概率与该时间间隔的长度成正比。因此，泊松过程可以很好地模拟默认事件发生的随机性。

泊松过程具有以下几个特点：

• 无记忆性：泊松过程的未来演化与过去的历史状态无关。
• 独立性：泊松过程的增量是独立的，这意味着在给定时间间隔内发生默认的概率与之前或之后发生默认的概率无关。
• 均匀性：泊松过程在时间上是均匀的，这意味着在任何给定时间间隔内发生默认的概率是相同的。

泊松过程被广泛用于量化金融中，例如风险债券定价、信用衍生品定价和违约风险评估等。

在强度模型中，随机利率是一个随机变量，其值在时间上是不确定的。随机利率通常用于模拟利率变动的随机性。

风险债券是一种信用风险敏感的债券，其利率与参考利率相关。参考利率通常是LIBOR或OIS利率。当参考利率上升时，风险债券的利率也会上升，反之亦然。

风险债券的定价可以通过求解随机默认强度下的风险债券定价PDE来实现。随机默认强度是表示单位时间内违约概率的函数。随机默认强度可以是确定的或随机的。

当随机默认强度是确定的时，风险债券定价PDE可以写成如下形式：

\frac{\partial V}{\partial t} + rV - \frac{1}{2}\sigma^2V_{xx} - \lambda V = 0

其中，V是风险债券的价格，t是时间，r是无风险利率，\sigma是利率波动率，\lambda是随机默认强度。

当随机默认强度是随机的时，风险债券定价PDE可以写成如下形式：

\frac{\partial V}{\partial t} + rV - \frac{1}{2}\sigma^2V_{xx} - \lambda(t,V)V = 0

其中，\lambda(t,V)是随机默认强度，其值取决于时间t和风险债券的价格V。

在风险债券定价中，通常需要对违约时的回收率进行假设。回收率是指违约时能够收回的债券本金和利息的比例。

可用于风险债券定价的常见回收假设包括：

• 固定回收假设：假设回收率是一个固定值。
• 随机回收假设：假设回收率是一个随机变量。
• 动态回收假设：假设回收率是一个随时间变化的函数。

固定回收假设是最简单也是最常用的回收假设。然而，固定回收假设不能很好地反映违约时回收率的随机性。因此，在实践中，通常使用随机回收假设或动态回收假设。

在选择回收假设时，需要考虑以下几个因素：

• 违约时的经济环境。
• 发行人的信用状况。
• 债券的抵押品。
• 债券的期限。

根据这些因素，可以选择一个最适合的回收假设。