Prim算法助力：最小成本连接所有点（Python）

Prim算法概述

Prim算法是一种贪心算法，它从一个顶点开始，逐步将尚未连接的顶点添加到生成树中，每次都选择权重最小的边连接两个连通分量。该算法可以有效地解决最小生成树问题，特别适合于稠密图。

Python实现Prim算法

# Prim算法
def prim(graph):
  # 初始化
  mst = []  # 最小生成树
  visited = [False] * len(graph)  # 标记顶点是否已访问
  visited[0] = True  # 将第一个顶点标记为已访问

  # 循环，直到所有顶点都已访问
  while not all(visited):
    # 找到当前最小的权重边
    min_weight = float('inf')
    min_edge = None
    for i in range(len(graph)):
      if visited[i]:
        for j in range(len(graph[i])):
          if not visited[j] and graph[i][j] < min_weight:
            min_weight = graph[i][j]
            min_edge = (i, j)

    # 将找到的边添加到最小生成树中
    mst.append(min_edge)

    # 将与最小边相连的顶点标记为已访问
    visited[min_edge[1]] = True

  # 返回最小生成树
  return mst

# 使用Prim算法求解最小成本连接所有点的LeetCode 1584题
def min_cost_to_connect_points(points):
  # 构造图
  graph = [[0] * len(points) for _ in range(len(points))]
  for i in range(len(points)):
    for j in range(i+1, len(points)):
      # 计算两点之间的距离
      distance = abs(points[i][0] - points[j][0]) + abs(points[i][1] - points[j][1])
      graph[i][j] = graph[j][i] = distance

  # 使用Prim算法求解最小生成树
  mst = prim(graph)

  # 计算最小生成树的总权重
  total_weight = 0
  for edge in mst:
    total_weight += graph[edge[0]][edge[1]]

  return total_weight

# 测试
points = [[0,0],[2,2],[3,10],[5,2],[7,0]]
print(min_cost_to_connect_points(points))  # 输出：20

总结

LeetCode 1584题“最小成本连接所有点”考察了Prim算法在图论中的应用。该算法通过贪心策略，一步步构建最小生成树，实现了以最小成本连接所有点的目标。我们使用Python语言清晰地实现了Prim算法，并将其应用于该问题。希望本教程对您理解Prim算法及其在图论中的应用有所帮助。