数学基础之线性代数：化二次型为标准形的神奇配方法

文｜技术博客创作专家

在 Mathematics for Machine Learning 系列的线性代数篇中，我们探索了一系列激动人心的主题，今天，我们将深入探究一个被称为配方法的神奇技巧，它能将二次型化身为标准形。

配方法的魅力

在数学王国中，二次型扮演着举足轻重的角色。它是一种二次齐次多项式，可以揭示许多函数和几何图形的内在本质。然而，要真正理解二次型的奥秘，我们需要一种方法来化繁为简，将其转化为一个更易于分析和理解的形式——标准形。

配方法就是我们手中的魔法棒，它能将任意二次型变身为标准形。其精妙之处在于，它允许我们通过一系列巧妙的代数操作，将二次型表示成一个平方项和一个线性项之和。

化二次型为标准形：一步一步

为了见证配方法的威力，我们不妨亲自实践一番。假设我们有一​​个二次型：

f = x₁² + x₂² + 2x₁x₂

第一步：配平方项

首先，我们对变量 x₁ 和 x₂ 进行配平方操作。对于 x₁，我们添加并减去常数 c²，其中 c 是任意常数。对于 x₂，我们也做同样的操作。

f = x₁² + 2cx₁ + c² - c² + x₂² + 2x₁x₂

第二步：提取完全平方项

现在，我们可以将前两项分组为一个完全平方项：

f = (x₁ + c)² - c² + x₂² + 2x₁x₂

第三步：化交叉项为标准形

接下来，我们需要化交叉项 2x₁x₂ 为标准形。为此，我们添加并减去一个常数项，使得交叉项变为 (x₁ + x₂)² - x₁² - x₂²。

f = (x₁ + c)² - c² + x₂² + 2x₁x₂ - x₁² - x₂² + (x₁ + x₂)

第四步：提取第二个完全平方项

最后，我们可以将后三项分组为另一个完全平方项：

f = (x₁ + c)² - c² + (x₁ + x₂) - (x₁² + x₂²)

标准形诞生

经过这四步妙手，我们的二次型 f 已成功化身为标准形：

f = (x₁ + x₂ - c)² - (c² - 1)

无与伦比的优势

配方法在化二次型为标准形方面具有不可比拟的优势。它不仅简单易懂，而且适用性广泛，适用于任何二次型。此外，标准形还为我们提供了对二次型几何和代数性质的深刻洞察。

探索更多精彩

在 Mathematics for Machine Learning 系列的后续章节中，我们将继续探索线性代数的迷人世界，深入研究特征值、特征向量和正交变换等激动人心的主题。