从 (HDU - 3709) 理解数位 DP 的精妙，开启算法进阶之路

闲谈

2023-10-17 16:10:57

(HDU - 3709) 平衡数：算法思维的进阶之旅

算法世界波澜壮阔，数位 DP 耀眼夺目。 (HDU - 3709) 平衡数问题如同一块试金石，考验着算法爱好者的思维与技巧。踏上这道题目的征途，我们将领略数位 DP 的无穷魅力，开启算法进阶的全新篇章。

什么是平衡数？ 平衡数是指有一位数字作为平衡点，左右两侧数字的和相等。例如，12345 是一个平衡数，因为 1 + 2 = 3 + 4 + 5。

数位 DP：攻克难题的利器。 数位 DP 是一种巧妙的算法技术，它通过逐位枚举的方式，将复杂问题分解成一个个子问题。在 (HDU - 3709) 平衡数问题中，数位 DP 可以帮助我们高效地计算出区间内平衡数的个数。

算法流程：步步为营，稳扎稳打。

初始化： 将区间 [a, b] 的每一位数字都初始化为 0。
枚举平衡点： 从左到右依次枚举每一位数字作为平衡点。
计算左侧和右侧的数字和： 在平衡点的左边和右边分别计算数字和。
判断是否平衡： 如果左侧和右侧的数字和相等，则当前数字组合是一个平衡数。
累加平衡数个数： 如果当前数字组合是平衡数，则累加平衡数的个数。
更新数字： 将平衡点右边的所有数字都更新为 0，然后继续枚举下一个平衡点。

代码实现：从抽象到具象，算法之美跃然纸上。

#include <iostream>
#include <string>

using namespace std;

int main() {
  // 输入区间 [a, b]
  int a, b;
  cin >> a >> b;

  // 初始化平衡数个数为 0
  int count = 0;

  // 逐位枚举平衡点
  for (int i = 1; i <= 9; i++) {
    // 计算左侧和右侧的数字和
    int left_sum = 0, right_sum = 0;
    string str_a = to_string(a), str_b = to_string(b);
    int j = i - 1;
    while (j >= 0) {
      left_sum += str_a[j] - '0';
      j--;
    }
    j = i;
    while (j < str_b.length()) {
      right_sum += str_b[j] - '0';
      j++;
    }

    // 判断是否平衡
    if (left_sum == right_sum) {
      // 更新平衡数个数
      count++;

      // 将平衡点右边的所有数字都更新为 0
      for (j = i + 1; j < str_b.length(); j++) {
        str_b[j] = '0';
      }

      // 将更新后的数字串转换为整数
      b = stoi(str_b);
    }
  }

  // 输出平衡数个数
  cout << count << endl;

  return 0;
}