动态规划硬币找零最优解实现代码详解

后端

2023-11-16 23:39:03

内容大纲：

1. 问题概述：

介绍硬币找零问题的基本概念。
理解问题的输入和输出。

2. 动态规划算法：

定义动态规划算法的基本思想。
介绍动态规划算法求解硬币找零问题的步骤。

3. 实现过程：

使用Java语言实现动态规划算法。
详细讲解代码的结构和逻辑。

4. 算法分析：

分析动态规划算法的时间复杂度和空间复杂度。
探讨算法的优点和缺点。

5. 应用举例：

提供一个具体的应用例子。
解释如何将算法应用到实际问题中。

6. 总结：

总结本文的主要内容。
指出动态规划算法在其他问题中的应用。

现在，让我们进入文章正文：

一、问题概述

硬币找零问题：

给定一种或多种面值的硬币和一个总金额，找到一种最优方案，使用最少的硬币凑出这个总金额。

问题输入：

一组面值不同的硬币，用一个数组表示。
一个总金额，表示需要找零的金额。

问题输出：

一组硬币，表示用于凑出总金额的最优方案。
硬币的数量是最少的。

二、动态规划算法

动态规划算法的思想：

将问题分解成一系列子问题。
为每个子问题找到最优解。
将子问题的最优解组合成整个问题的最优解。

动态规划算法求解硬币找零问题的步骤：

初始化一个二维数组dp ，其中dp[i][j] 表示使用前i 种硬币凑出金额j 的最少硬币数量。
对于dp 数组的每一行，从左到右进行迭代。
对于dp 数组的每一列，从上到下进行迭代。
计算dp[i][j] 的值。
更新dp 数组。
找到使用最少硬币凑出总金额的最优方案。

三、实现过程

Java代码：

import java.util.Arrays;

public class CoinChange {

    public static int coinChange(int[] coins, int amount) {
        int[][] dp = new int[coins.length + 1][amount + 1];

        for (int i = 1; i <= coins.length; i++) {
            for (int j = 1; j <= amount; j++) {
                if (coins[i - 1] <= j) {
                    dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - coins[i - 1]] + 1);
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                }
            }
        }

        return dp[coins.length][amount];
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] coins = {1, 2, 5};
        int amount = 11;
        int minCoins = coinChange(coins, amount);
        System.out.println("最少硬币数量：" + minCoins);
    }
}

代码讲解：

dp数组初始化：将dp 数组初始化为一个二维数组，其中dp[i][j] 表示使用前i 种硬币凑出金额j 的最少硬币数量。
迭代dp数组：对于dp 数组的每一行，从左到右进行迭代。对于dp 数组的每一列，从上到下进行迭代。
计算dp[i][j]的值：如果硬币的面值小于或等于当前金额，则计算dp[i][j] 的值为使用前i 种硬币凑出金额j 的最少硬币数量。否则，dp[i][j] 的值为使用前i-1 种硬币凑出金额j 的最少硬币数量。
更新dp数组：将dp[i][j] 的值更新为最小值。
找到最优方案：找到使用最少硬币凑出总金额的最优方案。

四、算法分析

时间复杂度：

动态规划算法求解硬币找零问题的時間複雜度爲 O(coins.length * amount)，其中coins.length 表示硬币的种类数量，amount 表示总金额。

空间复杂度：

动态规划算法求解硬币找零问题的空間複雜度爲 O(coins.length * amount)，其中coins.length 表示硬币的种类数量，amount 表示总金额。

算法优点：

动态规划算法是一种非常有效的算法，可以解决许多复杂的问题。
动态规划算法具有较好的时间复杂度和空间复杂度。
动态规划算法的实现相对简单。

算法缺点：

动态规划算法对于某些问题来说可能比较难以理解。
动态规划算法需要额外的空间来存储中间结果。

五、应用举例

硬币找零问题在实际生活中有很多应用场景，比如：

在商店购物时，找零。
在银行取钱时，找零。
在自动售货机购买商品时，找零。

六、总结

动态规划算法是一种非常有效的算法，可以解决许多复杂的问题。动态规划算法求解硬币找零问题的步骤包括：

初始化一个二维数组dp ，其中dp[i][j] 表示使用前i 种硬币凑出金额j 的最少硬币数量。
对于dp 数组的每一行，从左到右进行迭代。
对于dp 数组的每一列，从上到下进行迭代。
计算dp[i][j] 的值。
更新dp 数组。
找到使用最少硬币凑出总金额的最优方案。

动态规划算法求解硬币找零问题的時間複雜度爲 O(coins.length * amount)，其中coins.length 表示硬币的种类数量，amount 表示总金额。空間複雜度爲 O(coins.length * amount)，其中coins.length 表示硬币的种类数量，amount 表示总金额。

动态规划算法是一种非常有效的算法，可以解决许多复杂的问题。动态规划算法具有较好的时间复杂度和空间复杂度。动态规划算法的实现相对简单。但是，动态规划算法对于某些问题来说可能比较难以理解。动态规划算法需要额外的空间来存储中间结果。

硬币找零问题在实际生活中有很多应用场景，比如：在商店购物时，找零。在银行取钱时，找零。在自动售货机购买商品时，找零。