攻克 LeetCode 64：一路征途，拾级而上，探索最小路径和的奥秘

2023-09-12 09:39:39

溯源而上，浅析动态规划

在踏入 LeetCode 64 的解题之旅之前，让我们先来了解一下动态规划的思想精髓。动态规划是一种解决最优化问题的经典算法，它通过将原问题分解成一系列子问题，逐步求解这些子问题，最终得到原问题的最优解。动态规划的优势在于，它可以将原问题分解成一系列独立的子问题，从而大大降低了问题的复杂度。

步步为营，构造动态规划解法

一览全景，洞悉问题脉络

LeetCode 64 的题意十分明了，给定一个二维数组 grid，该数组中的元素代表着从起点到终点路径上的权值。目标是找出从起点到终点路径上的最小和。
庖丁解牛，细分层层递进

既然我们已经明晰了问题的核心，那么接下来就可以着手构建动态规划的解法了。我们将 grid 数组划分为一系列子问题，每个子问题都代表着从起点到某个中间点的最小路径和。
抽丝剥茧，迭代更新最优解

我们从动态规划的递推关系入手，一步步地求解这些子问题。对于 grid[i][j] 来说，它的最小路径和可以由它上方的 grid[i-1][j] 和左方的 grid[i][j-1] 的最小路径和加上自身的值得到。
不忘初心，回归最终目标

当我们求解了所有子问题的最优解之后，就可以轻松地得到原问题的最优解。原问题的最优解就是从起点到终点路径上的最小路径和，它是 grid[grid.length - 1][grid[0].length - 1] 的值。
借鉴经验，拓展解题思路

在求解 LeetCode 64 的过程中，我们所用到的动态规划思想是一种十分强大的算法范式，它可以用于解决许多其他类型的问题。在未来的解题征程中，我们可以尝试将动态规划的思想应用到其他问题上，从而触类旁通，见微知著。

登峰造极，算法实现与代码示例

为了让你能够更直观地理解动态规划的解法，这里提供了一段完整的 Java 代码示例：

public class MinimumPathSum {

    public static void main(String[] args) {
        int[][] grid = {
                {1, 3, 1},
                {1, 5, 1},
                {4, 2, 1}
        };

        int minimumPathSum = minPathSum(grid);
        System.out.println("Minimum Path Sum: " + minimumPathSum);
    }

    public static int minPathSum(int[][] grid) {
        int m = grid.length;
        int n = grid[0].length;

        int[][] dp = new int[m][n];

        dp[0][0] = grid[0][0];

        // Initialize the first row
        for (int j = 1; j < n; j++) {
            dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j];
        }

        // Initialize the first column
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
        }

        // Fill the remaining cells
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j];
            }
        }

        return dp[m - 1][n - 1];
    }
}