P4155 [SCOI2015] 国旗计划——倍增、贪心与断环为链的完美结合

见解分享

2023-07-15 06:06:36

掌握 P4155：倍增法与贪心算法的完美结合

简介

P4155 是 LeetCode 上一道颇具挑战性的算法竞赛题目，考验着算法爱好者的思维敏捷性和技巧娴熟度。它巧妙地将倍增法和贪心算法融为一体，为解题者提供了一次探索图论算法奥妙的良机。

图论问题概述

P4155 是一道无向图着色问题。题目给定一张无向图，其中每个节点都赋予了一种颜色。要求我们在图中选取一些节点，满足以下条件：

所选节点的颜色各不相同
所选节点连成的子图是连通的

倍增法的威力

解决 P4155 的关键在于高效地计算图中任意两点之间的最短路径。倍增法是一种经典算法，能够快速求解这一问题。其核心思想是将图中的边按权重从小到大排序，然后逐步加入图中，更新任意两点之间的最短路径。

贪心算法的妙用

在求得了图中任意两点之间的最短路径后，我们便可采用贪心算法来选择节点。具体步骤如下：

从图中选择颜色最多的节点
从该节点出发，使用倍增法找到图中所有其他节点的最短路径
在最短路径上选择颜色不同的节点
重复上述步骤，直到所有节点都被选择

代码示例

# 图的邻接表表示
graph = {}

# 节点的颜色
color = {}

# 使用倍增法求任意两点最短路径
def floyd_warshall():
    # 初始化距离矩阵
    for u in graph:
        for v in graph:
            if u == v:
                dis[u][v] = 0
            elif (u, v) in graph:
                dis[u][v] = graph[u][v]
            else:
                dis[u][v] = float('inf')
    # floyd算法
    for k in graph:
        for i in graph:
            for j in graph:
                if dis[i][k] + dis[k][j] < dis[i][j]:
                    dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j]

# 贪心算法选择节点
def greedy_coloring():
    # 初始化颜色集合
    color_set = set()
    for node in graph:
        color_set.add(color[node])
    # 贪心选择节点
    while len(color_set) < len(graph):
        # 找到最大颜色节点
        max_color = -1
        max_node = -1
        for node in graph:
            if color[node] > max_color and node not in color_set:
                max_color = color[node]
                max_node = node
        # 将最大颜色节点加入结果集
        color_set.add(color[node])
        # 从最大颜色节点出发，使用倍增法查找最短路径
        for node in graph:
            if node not in color_set and dis[max_node][node] < float('inf'):
                # 在最短路径上选择颜色不同的节点
                if color[node] != max_color:
                    color_set.add(color[node])
    # 返回结果
    return len(color_set)

# 主函数
if __name__ == '__main__':
    # 读取图和节点颜色
    n, m = map(int, input().split())
    for i in range(m):
        a, b, w = map(int, input().split())
        graph[(a, b)] = w
        graph[(b, a)] = w
        color[a] = int(input())
    # 使用floyd算法求任意两点最短路径
    floyd_warshall()
    # 使用贪心算法选择节点
    result = greedy_coloring()
    print(result)