从头开始推导线性回归公式

导言

在机器学习的浩瀚领域中，线性回归模型以其简单易懂、应用广泛而备受推崇。它是一种统计学方法，旨在揭示自变量和因变量之间的线性关系。然而，仅仅理解其应用是不够的，深入探究其公式的推导过程至关重要，因为它不仅有助于理解模型的机制，而且还能培养我们对统计学基础的深入认识。

概念预备

在深入研究公式之前，让我们回顾一下线性回归模型的核心概念：

• 自变量（x） ：对因变量有影响的变量。
• 因变量（y） ：受自变量影响的变量。
• 线性关系 ：自变量和因变量之间的关系可以表示为一条直线。

公式推导

现在，让我们一步一步地推导出线性回归的公式：

1. 模型形式

我们假设自变量和因变量之间的关系可以用以下线性模型表示：

y = b0 + b1x

其中：

• b0 是截距，即当自变量为 0 时因变量的值。
• b1 是斜率，表示自变量变化一个单位时因变量的变化量。

2. 均方误差

我们希望找到一组参数 b0 和 b1，使模型与给定数据集之间的均方误差（MSE）最小化。MSE 定义为：

MSE = (1/n) Σ (yi - ŷi)^2

其中：

• n 是数据集中的数据点数。
• yi 是观测到的因变量值。
• ŷi 是模型预测的因变量值。

3. 偏导数

为了找到 b0 和 b1 的最优值，我们对 MSE 关于 b0 和 b1 求偏导数，并将它们设为 0：

∂MSE/∂b0 = 0
∂MSE/∂b1 = 0

4. 解方程

求解这两个偏导数方程，我们可以得到 b0 和 b1 的最优值：

b1 = Σ (xi - x̄)(yi - ȳ) / Σ (xi - x̄)^2
b0 = ȳ - b1x̄

其中：

• x̄ 是自变量的平均值。
• ȳ 是因变量的平均值。

5. 最终公式

将 b0 和 b1 代回线性模型方程，我们得到线性回归的最终公式：

y = ȳ + b1(x - x̄)

解释

该公式表明，因变量 y 的预测值等于其平均值 ȳ，加上自变量 x 偏离平均值 x̄ 的乘积与斜率 b1。换句话说，斜率表示单位自变量变化对因变量的影响大小。

优点

线性回归模型具有以下优点：

• 简单易懂： 公式简洁明了，易于理解和应用。
• 适用广泛： 它可以用来建模各种现实世界中的问题，从预测销售到估计疾病风险。
• 预测能力： 一旦训练好，该模型就可以对新数据点进行准确预测。

限制

尽管线性回归是一种强大的工具，但它也有一些局限性：

• 线性假设： 它假设自变量和因变量之间存在线性关系。
• 易受异常值影响： 极端值会扭曲回归线，导致预测不准确。
• 不能处理非线性关系： 如果自变量和因变量之间的关系是非线性的，那么线性回归可能无法提供准确的模型。

结论

线性回归公式的推导过程深入揭示了机器学习模型的内部机制。它不仅提供了模型的功能见解，还培养了我们对统计学基础的理解。虽然线性回归具有广泛的应用，但了解其局限性也很重要，以便在应用中做出明智的决定。通过持续探索，我们将进一步加深对机器学习世界的理解。