深入浅出探索LeetCode 427：建立四叉树的递归运用及前缀和优化

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2024-02-10 17:03:15

征服 LeetCode 427：构建四叉树的进阶指南

导言

在算法的世界中，LeetCode 427 构建四叉树是一个引人入胜的谜题，它考验着你的解决问题能力和算法思维。本文将带你踏上一段算法之旅，一步步深入剖析这道题目的解题思路和实现方法，让你领略算法海洋中的别样风景。

题解简介

题目：

给你一个 n×n 矩阵 grid ，矩阵由若干 0 和 1 组成。请你将 grid 划分为一些 2×2 的子网格，使得每个子网格都满足以下条件：

每个子网格中包含的 0 和 1 的数量相同。
如果我们按行从左到右、从上到下遍历子网格，那么 0 和 1 交替出现。

请你统计有多少种划分方案。

解题思路

这道题目的解题关键在于将大问题分解成小问题，并利用递归的方式逐层解决。我们可以将矩阵 grid 划分为四个 2×2 的子网格，然后判断每个子网格是否满足题目中的条件。如果满足，则继续将子网格划分为更小的子网格，直到无法继续划分为止。如果不满足，则放弃对该子网格的划分。

为了优化算法的性能，我们可以使用前缀和来计算每个子网格中 0 和 1 的数量。这样，在判断子网格是否满足题目中的条件时，我们只需要查询前缀和数组，而不需要重新计算。

实现方法

def countQuadTree(grid):
  """
  :type grid: List[List[int]]
  :rtype: int
  """

  def is_valid(grid, x, y, size):
    """
    判断子网格是否满足题目中的条件。

    :param grid: 矩阵。
    :param x: 子网格左上角的横坐标。
    :param y: 子网格左上角的纵坐标。
    :param size: 子网格的边长。
    :return: 如果子网格满足题目中的条件，则返回 True，否则返回 False。
    """
    count_0 = 0
    count_1 = 0
    for i in range(x, x + size):
      for j in range(y, y + size):
        if grid[i][j] == 0:
          count_0 += 1
        else:
          count_1 += 1

    return count_0 == count_1 and count_0 * 2 == size * size

  def count_quad_tree(grid, x, y, size):
    """
    统计划分方案的数量。

    :param grid: 矩阵。
    :param x: 子网格左上角的横坐标。
    :param y: 子网格左上角的纵坐标。
    :param size: 子网格的边长。
    :return: 划分方案的数量。
    """
    if is_valid(grid, x, y, size):
      return 1

    count = 0
    for i in range(2):
      for j in range(2):
        count += count_quad_tree(grid, x + i * size // 2, y + j * size // 2, size // 2)

    return count

  return count_quad_tree(grid, 0, 0, len(grid))