乘风破浪，携手探索LeetCode动态规划之乘积最大子数组

2023-11-08 06:29:27

动态规划：破解乘积最大子数组难题

导言

计算机科学世界中，动态规划是一种强大的算法设计方法，它在解决各种复杂问题时大显身手，包括最优决策问题和优化问题。通过将问题分解为更小的子问题并保存它们的解决方案，动态规划可以显著减少计算量。其中，乘积最大子数组问题就是一个经典的动态规划难题。

乘积最大子数组问题

问题

给定一个整数数组 nums ，找出数组中乘积最大的连续子数组（至少包含一个数字）。

示例：

示例 1：
- 输入：nums = [2, 3, -2, 4]
- 输出：6
- 解释：子数组 [2, 3] 具有最大乘积 6。
示例 2：
- 输入：nums = [-2, 0, -1]
- 输出：0
- 解释：结果不能为负数。
示例 3：
- 输入：nums = [-2, 3, -4]
- 输出：24
- 解释：子数组 [-2, -3, -4] 具有最大乘积 24。

挑战：

能否设计一种时间复杂度为 O(n) 和空间复杂度为 O(1) 的算法来解决此问题？

解题思路

动态规划解决乘积最大子数组问题的核心在于将复杂问题分解为更小的子问题。我们定义一个状态 dp[i] ，它表示以 nums[i] 结尾的子数组的最大乘积。

状态转移方程：

如果 nums[i] > 0 ，则 dp[i] = dp[i-1] * nums[i] 。
如果 nums[i] < 0 ，则 dp[i] = dp[i-1] * nums[i] 或 dp[i] = nums[i] ，取较大值。
如果 nums[i] = 0 ，则 dp[i] = 0 。

初始化：

dp[0] = nums[0] 。

计算：

从 i = 1 开始，逐个计算 dp[i] 。

答案：

最大子数组乘积为 max(dp) 。

代码实现：

def max_product(nums):
  """
  Finds the maximum product of a contiguous subarray in a given array.

  Args:
    nums: A list of integers.

  Returns:
    The maximum product of a contiguous subarray in nums.
  """

  # Initialize the dp array.
  dp = [0] * len(nums)
  dp[0] = nums[0]

  # Calculate the maximum product of each subarray.
  for i in range(1, len(nums)):
    if nums[i] > 0:
      dp[i] = max(dp[i-1] * nums[i], nums[i])
    else:
      dp[i] = max(dp[i-1] * nums[i], nums[i])

  # Return the maximum product.
  return max(dp)