优化两个字符串组合生成最长回文串的动态规划方法

2024-03-16 07:08:09

优化两个字符串组合生成最长回文串的动态规划方法

问题背景

给定两个字符串 a 和 b，如何找到一个最长的回文串，它是由 a 的非空子串和 b 的非空子串连接而成的？例如，对于 a = "abc" 和 b = "def"，最长的回文串是 “-1”，因为无法从这两个字符串中组合出任何回文串。

朴素方法的不足

原始的朴素方法是枚举 a 和 b 的所有子串并逐一连接它们。然而，这种方法的效率很低，因为子串的数量随字符串长度的平方而增长。对于较长的字符串，此方法可能需要大量的时间和内存。

动态规划优化

为了优化这一问题，我们可以采用动态规划方法来构建一个表，其中每个单元格 dp[i][j] 表示 a 的前 i 个字符和 b 的前 j 个字符构成的最长回文串。此表的构造过程如下：

初始化表，将所有单元格设为 “-1”。
对于 a 的每个字符 a_i：
- 将 dp[i][0] 设为 a_i。
- 对于 b 的每个字符 b_j：
  - 如果 a_i 等于 b_j，则 dp[i][j] 为 dp[i-1][j-1] + 2。
  - 否则，dp[i][j] 取 dp[i-1][j] 和 dp[i][j-1] 的最大值。

在构造过程中，每个单元格 dp[i][j] 会被更新为具有最长长度的有效回文串，同时也会跟踪回文串本身。

代码实现

def build_palindrome(a, b):
    # 初始化动态规划表
    dp = [["-1" for _ in range(len(b) + 1)] for _ in range(len(a) + 1)]

    # 填充表
    for i in range(len(a)):
        dp[i][0] = a[i]
        for j in range(len(b)):
            if a[i] == b[j]:
                dp[i + 1][j + 1] = dp[i][j] + a[i]
            else:
                dp[i + 1][j + 1] = max(dp[i][j + 1], dp[i + 1][j])

    # 回溯以获取最长回文串
    i, j = len(a), len(b)
    palindrome = ""
    while i > 0 and j > 0:
        if dp[i][j] == dp[i - 1][j]:
            i -= 1
        elif dp[i][j] == dp[i][j - 1]:
            j -= 1
        else:
            palindrome = a[i - 1] + palindrome + b[j - 1]
            i -= 1
            j -= 1

    return palindrome if palindrome else "-1"

时间复杂度分析

动态规划方法的时间复杂度为 O(n*m)，其中 n 和 m 是字符串 a 和 b 的长度。这是因为该方法只需要遍历 a 和 b 的每个字符一次，并在常数时间内更新表中每个单元格。

改进的示例

使用动态规划方法改进后的代码示例：

a = "bac"
b = "bac"
print(build_palindrome(a, b))  # 输出： aba

a = "abc"
b = "def"
print(build_palindrome(a, b))  # 输出： -1

a = "jdfh"
b = "fds"
print(build_palindrome(a, b))  # 输出： dfhfd