通过枚举破解方程：探索 1237 号难题的巧妙解法

2023-11-05 14:52:33

在算法的世界中，解决谜题是一项令人着迷的追求。LeetCode 平台以其众多引人入胜的难题而闻名，其中第 1237 号难题考验着我们的数学直觉。这个难题要求我们寻找给定方程的正整数解，这开启了一场探索数字王国奥秘的旅程。

1237 号难题：正整数解的奥秘

在 1237 号难题中，我们面临着这样一个方程：

x^2 + y^2 = z^2

我们的任务是找到三个正整数 x、y 和 z，使它们满足这个方程。换句话说，我们必须找出 x、y 和 z 的组合，使得它们的平方和等于另一个数的平方。

枚举的力量：逐个探索解的可能性

要解决此难题，我们将采用枚举法。枚举法是一种系统地遍历所有可能解的方法，并检查它们是否满足给定的条件。对于此难题，我们将从 x 开始枚举，依次尝试 1、2、3 等正整数，直至找到满足方程的组合。

以下是枚举法的详细步骤：

初始化变量： 将 x 设置为 1，y 设置为 1，z 设置为 2。
检查条件： 计算 x^2 + y^2 和 z^2，如果相等，则找到解。否则，继续下一步。
递增 x： 将 x 加 1 并返回步骤 2。
递增 y： 如果 x 超过了一个预定义的上限（例如 100），将 y 加 1 并将 x 重置为 1。然后返回步骤 2。
递增 z： 如果 x 和 y 都超过了上限，将 z 加 1 并将 x 和 y 重置为 1。然后返回步骤 2。
继续枚举： 重复上述步骤，直至找到解或穷举所有可能的组合。

Python 实现：一步步找出解

为了将枚举法付诸实践，我们编写了一个 Python 程序。以下是代码：

import math

def find_solutions(upper_bound):
  """
  枚举 x、y 和 z 的组合，找出给定方程的正整数解。

  参数：
    upper_bound：枚举的正整数上限。

  返回：
    一个元组，包含所有找到的解。
  """

  solutions = []
  x = 1
  y = 1
  z = 2

  while True:
    # 计算 x^2 + y^2 和 z^2
    x_squared = x * x
    y_squared = y * y
    z_squared = z * z

    # 如果 x^2 + y^2 = z^2，则找到了一个解
    if x_squared + y_squared == z_squared:
      solutions.append((x, y, z))

    # 递增 x
    x += 1

    # 如果 x 超过了上限，则递增 y
    if x > upper_bound:
      x = 1
      y += 1

    # 如果 x 和 y 都超过了上限，则递增 z
    if x > upper_bound and y > upper_bound:
      z += 1
      x = 1
      y = 1

    # 如果 z 超过了上限，则停止枚举
    if z > upper_bound:
      break

  return solutions

# 将上限设置为 100
upper_bound = 100

# 找出解
solutions = find_solutions(upper_bound)

# 打印解
for solution in solutions:
  print(solution)