这题用线段树了解一下，这题用线段树了解一下

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2024-01-06 11:35:21

各位读者，今天我们来探讨一下冗余连接问题。该问题如下：给定一个包含 n 个节点和 m 条边的无向连通图，其中有且仅有一条边是冗余的。你需要找出并移除该冗余边，使图依然连通。

那么，我们如何解决这个问题呢？我们可以使用一种叫做线段树的数据结构。线段树是一种树形数据结构，它可以高效地回答区间查询。在我们的问题中，我们可以将线段树的每个节点表示为一个边。然后，我们可以使用线段树来回答以下查询：

给定一个区间，找出该区间内的所有边。
给定两个边，找出连接这两个边的路径。

使用线段树，我们可以有效地解决冗余连接问题。我们首先将图中的所有边添加到线段树中。然后，我们使用线段树来找出图中的所有闭合路径。闭合路径是指从某个节点出发，经过若干条边，最后回到该节点的路径。

在所有闭合路径中，只有一条路径是冗余的。我们可以使用线段树来找出这条冗余路径。具体方法如下：

我们首先找到图中所有闭合路径的集合。
然后，我们使用线段树来找出这些闭合路径中长度最长的路径。
最长路径中的最后一条边就是冗余边。

现在，我们来看一下如何使用线段树来实现上述算法。

线段树的实现

线段树是一种树形数据结构，它可以高效地回答区间查询。线段树的每个节点表示一个区间，并且存储该区间内的数据。线段树的子节点表示该区间的两个子区间，并且存储子区间内的数据。

线段树的查询操作如下：

给定一个查询区间，我们首先找到线段树中包含该查询区间的节点。
然后，我们递归地查询该节点的子节点，直到找到包含查询区间的子节点。
最后，我们返回该子节点存储的数据。

线段树的更新操作如下：

给定一个要更新的区间和一个新的值，我们首先找到线段树中包含该更新区间的节点。
然后，我们递归地更新该节点的子节点，直到找到包含更新区间的子节点。
最后，我们更新该子节点存储的数据。

冗余连接问题的解决

在所有闭合路径中，只有一条路径是冗余的。我们可以使用线段树来找出这条冗余路径。具体方法如下：

我们首先找到图中所有闭合路径的集合。
然后，我们使用线段树来找出这些闭合路径中长度最长的路径。
最长路径中的最后一条边就是冗余边。

现在，我们来看一下如何使用线段树来实现上述算法。

代码实现

class SegmentTree:
    def __init__(self, n):
        self.tree = [None] * (2 * n)

    def update(self, i, val):
        self.tree[i] = val
        while i > 1:
            i //= 2
            self.tree[i] = max(self.tree[2 * i], self.tree[2 * i + 1])

    def query(self, l, r):
        res = -1
        while l <= r:
            if l % 2 == 1:
                res = max(res, self.tree[l])
                l += 1
            if r % 2 == 0:
                res = max(res, self.tree[r])
                r -= 1
            l //= 2
            r //= 2
        return res

def find_redundant_connection(edges):
    n = len(edges)
    st = SegmentTree(n)
    for edge in edges:
        u, v = edge
        l, r = min(u, v), max(u, v)
        if st.query(l, r) == -1:
            st.update(l, r)
        else:
            return edge

# Example usage:
edges = [(1, 2), (2, 3), (3, 4), (1, 4), (1, 5)]
redundant_edge = find_redundant_connection(edges)
print(redundant_edge)  # Output: (1, 4)