毫不费力的LeetCode冲刺指南：结合特征压缩的数位DP问题揭秘

闲谈

2023-03-09 09:24:23

征服 LeetCode 数位 DP 难题：掌握特征压缩的秘诀

在激烈的 LeetCode 周赛中脱颖而出，掌握数位 DP 问题解题技巧至关重要。数位 DP，即以数字为特殊数据结构的动态规划，是解决诸如数字排列、拆分和组合等与数字相关的计算问题的常用方法。

以往，解决数位 DP 问题需要繁琐的代码和计算，但有了特征压缩，一切变得轻松起来。特征压缩是一种神奇的技巧，能用一个或几个整数表示问题的状态，大幅减少代码量和计算量。

揭秘特征压缩的奥秘

特征压缩的精髓在于识别问题的关键特征并用整数表示。例如，在铺瓷砖问题中，瓷砖铺设的状态可以用一个数组 dp 表示，其中 dp[i][j] 表示第 i 行第 j 列放置瓷砖的所有可能情况数。

借助 dp 数组，我们能轻松计算出铺满地板的所有方案数：

初始化 dp[1][1] 为 1，表示第一格只能横放瓷砖。
对每一行 i（i > 1），计算 dp[i][1] 等于 dp[i-1][1]，因为第一列只能横放瓷砖。
对每一列 j（j > 1），计算 dp[1][j] 等于 dp[1][j-1]，因为第一行只能竖放瓷砖。
对每一行 i（i > 1）和每一列 j（j > 1），计算 dp[i][j] 等于 dp[i-1][j] 加上 dp[i][j-1]，因为瓷砖可以横放或竖放。

计算完 dp 数组后，答案即为 dp[n][n]。

实战示例：铺瓷砖问题

以 LeetCode 周赛中的铺瓷砖问题为例：

题目链接

给你一个整数 n，表示你要用 1x 的瓷砖铺满一个 n x n 的地板。瓷砖可以横着或竖着铺，且每块瓷砖只能使用一次。问有多少种不同的铺法。

借助特征压缩，我们可以用 dp 数组轻松解决这个问题。具体代码如下：

def count_ways(n):
    dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
    dp[1][1] = 1  # 初始化

    # 逐行计算
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            if i == 1 or j == 1:  # 第一行或第一列
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]  # 只能横放或竖放
            else:
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] + dp[i-1][j-1]  # 可横放、竖放或斜放

    return dp[n][n]