AI时代的神兵利器：梯度下降算法

2023-09-01 22:39:00

踏上梯度下降之旅：无约束优化问题的征途

准备踏上激动人心的旅程，探索无约束优化问题的广阔世界。梯度下降算法将成为你的向导，带领你找到最优解的宝藏，助力你的机器学习模型扬帆起航。

揭开梯度下降算法的神秘面纱：原理与实践

梯度下降算法的精髓在于它采用迭代逼近的方式，步步为营地朝着最优解迈进，最终在目标函数的最低点安营扎寨。不妨将它想象成你在山坡上寻觅最陡峭路径的场景，每一步都指向降低函数值的方向，直到抵达谷底。

让我们以一个简单的函数 f(x) = x^2 - 4x + 3 为例，亲身体验梯度下降算法的运作机制。我们的目标是找到这个函数的最小值。

import numpy as np

# 定义函数
def f(x):
    return x**2 - 4*x + 3

# 梯度下降算法
def gradient_descent(f, x0, learning_rate=0.1, num_iterations=100):
    x = x0
    for i in range(num_iterations):
        # 计算梯度
        gradient = 2*x - 4

        # 更新x
        x = x - learning_rate * gradient

    return x

# 调用梯度下降算法
x_min = gradient_descent(f, 2)

# 打印结果
print("最小值:", x_min)

只需运行这段 Python 代码，就能轻松求得函数 f(x) 的最小值。梯度下降算法的威力不仅限于一元函数，它还能轻松驾驭多元函数的优化难题。

实战演练：用梯度下降算法训练线性回归模型

梯度下降算法在机器学习领域大放异彩，让我们以线性回归模型为例，一探究竟。线性回归模型旨在找到一条直线，完美拟合一组数据点。而梯度下降算法将助你一臂之力，找到这条直线的参数，包括斜率和截距。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 数据生成
X = np.array([[1, 1], [1, 2], [2, 2], [2, 3]])
y = np.dot(X, np.array([1, 2])) + 3

# 梯度下降算法
def gradient_descent(X, y, learning_rate=0.1, num_iterations=1000):
    # 初始化参数
    w = np.zeros((X.shape[1], 1))
    b = 0

    # 迭代更新参数
    for i in range(num_iterations):
        # 计算梯度
        gradient_w = 2/X.shape[0] * np.dot(X.T, np.dot(X, w) + b - y)
        gradient_b = 2/X.shape[0] * np.sum(np.dot(X, w) + b - y)

        # 更新参数
        w = w - learning_rate * gradient_w
        b = b - learning_rate * gradient_b

    return w, b

# 调用梯度下降算法
w, b = gradient_descent(X, y)

# 绘制拟合直线
plt.scatter(X[:, 1], y)
plt.plot(X[:, 1], np.dot(X, w) + b, color='red')
plt.show()