算法刷题：轻松搞定洛谷P1661扩散（三种解法）

算法刷题【洛谷P1661】扩散（三种解法：最小生成树 + 二分&并查集 + Floyd弗洛伊德）

在算法的学习和应用中，刷题是一个非常重要的环节，它可以帮助我们巩固所学知识，提高算法思维能力，为实际工作打下坚实的基础。洛谷P1661扩散题就是一个非常经典的算法题，它不仅考察了我们的算法知识，还考验了我们的思维能力。

这道题的题目如下：

在一个n×m的网格中，每个点每过一个单位时间就会向四个方向扩散一个距离，如图所示：

![](https://p3-juejin.byteimg.com/tos-cn-i-k3u1fbpfcp/ae9377ede3b74711)

给定一个n×m的网格，每个点都有一个权值，求从(1,1)点出发，到(n,m)点最短路径的权值和。

这道题可以有多种不同的解法，这里介绍三种比较常用的方法：最小生成树 + 二分法、并查集，以及Floyd-Warshall算法。

最小生成树 + 二分法

最小生成树 + 二分法是一种非常经典的算法，它可以用来解决许多最短路径问题。这种方法的基本思想是：

1. 将所有点看成是图中的顶点，将所有边看成是图中的边，边的权值就是两个点之间的距离。
2. 找到图中的最小生成树，最小生成树是一棵连接所有顶点的树，并且树上的边权值和最小。
3. 使用二分法来找到从(1,1)点到(n,m)点最短路径的权值和。

二分法的具体步骤如下：

1. 将最小生成树上的边权值从小到大排序。
2. 二分搜索最小生成树上的边权值，找到一个边权值，使得从(1,1)点到(n,m)点最短路径的权值和等于这个边权值。

并查集

并查集是一种非常常用的数据结构，它可以用来解决许多集合相关的问题。这种方法的基本思想是：

1. 将每个点看成是一个集合，每个集合包含一个或多个点。
2. 使用并查集来维护这些集合，并查集提供了一些操作，比如查找一个点所属的集合、合并两个集合等。
3. 从(1,1)点出发，不断地向四个方向扩散，如果遇到一个点已经属于某个集合，则停止扩散；如果遇到一个点不属于任何集合，则创建一个新的集合，并将这个点加入到这个集合中。
4. 当(n,m)点被扩散到时，从(1,1)点到(n,m)点最短路径的权值和就是所有集合的权值和之和。

Floyd-Warshall算法

Floyd-Warshall算法是一种非常常用的最短路径算法，它可以用来解决所有点对之间的最短路径问题。这种方法的基本思想是：

1. 将所有点看成是图中的顶点，将所有边看成是图中的边，边的权值就是两个点之间的距离。
2. 使用Floyd-Warshall算法来计算所有点对之间的最短路径。
3. 从(1,1)点到(n,m)点最短路径的权值和就是Floyd-Warshall算法计算出的(1,1)点到(n,m)点最短路径的权值。

这三种方法各有其优缺点，最小生成树 + 二分法适用于边权值比较小的情况，并查集适用于集合比较多的情况，Floyd-Warshall算法适用于所有点对之间的最短路径问题。