敏捷探索最小高度树：LeetCode 310 解题指南

前端

2024-02-16 14:44:39

前言

在计算机科学的世界中，树形结构无处不在，从文件系统到网络拓扑，它们都扮演着至关重要的角色。本文将深入探讨 LeetCode 上的 310. 最小高度树，探索如何找出给定加权无向图中高度最小的树。

问题陈述

给定一个加权无向图，其中顶点由数字标识，并且每个边都有一个权重。目标是找到一棵高度最小的树，其中树的高度定义为根节点到最远叶子节点的最长路径长度。

解题方法

克鲁斯卡尔算法

克鲁斯卡尔算法是一种贪心算法，用于求解加权无向图中的最小生成树。我们可以使用它来解决 310. 最小高度树，因为最小高度树实际上就是加权无向图中的最小生成树。

算法的步骤如下：

将图中的所有顶点初始化为单独的连通分量。
从所有边中选择一条权重最小的边。
如果选择的边连接了两个不同的连通分量，则将这两个连通分量合并为一个连通分量，并将该边添加到最小生成树中。
重复步骤 2 和 3，直到所有的顶点都连接在一个连通分量中。

Prim 算法

Prim 算法也是一种贪心算法，用于求解加权无向图中的最小生成树。与克鲁斯卡尔算法不同，Prim 算法从一个顶点开始，逐步扩展最小生成树，直到所有的顶点都包括在内。

算法的步骤如下：

从图中任意选择一个顶点作为根节点。
将根节点添加到最小生成树中。
从根节点开始，为每个尚未添加到最小生成树中的顶点找到权重最小的边。
如果边连接了未添加到最小生成树中的顶点，则将该边和顶点添加到最小生成树中。
重复步骤 3 和 4，直到所有的顶点都添加到最小生成树中。

代码示例

以下是使用克鲁斯卡尔算法解决 LeetCode 310. 最小高度树的 C++ 代码示例：

#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

struct Edge {
    int from, to, weight;
};

bool compareEdges(const Edge& a, const Edge& b) {
    return a.weight < b.weight;
}

class DSU {
public:
    vector<int> parent, rank;

    DSU(int n) {
        parent.resize(n);
        rank.resize(n, 0);
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            parent[i] = i;
        }
    }

    int find(int x) {
        if (parent[x] != x) {
            parent[x] = find(parent[x]);
        }
        return parent[x];
    }

    void union(int x, int y) {
        int rootX = find(x);
        int rootY = find(y);
        if (rootX != rootY) {
            if (rank[rootX] > rank[rootY]) {
                parent[rootY] = rootX;
            } else if (rank[rootX] < rank[rootY]) {
                parent[rootX] = rootY;
            } else {
                parent[rootY] = rootX;
                rank[rootX]++;
            }
        }
    }
};

vector<int> findMinHeightTrees(int n, vector<vector<int>>& edges) {
    // 1. Sort edges by weight
    vector<Edge> edges_sorted;
    for (auto& edge : edges) {
        edges_sorted.push_back({edge[0], edge[1], edge[2]});
    }
    sort(edges_sorted.begin(), edges_sorted.end(), compareEdges);

    // 2. Create DSU
    DSU dsu(n);

    // 3. Process edges
    vector<int> minHeightTrees;
    for (auto& edge : edges_sorted) {
        int rootX = dsu.find(edge.from);
        int rootY = dsu.find(edge.to);
        if (rootX != rootY) {
            dsu.union(rootX, rootY);
            if (minHeightTrees.empty()) {
                minHeightTrees.push_back(edge.from);
                minHeightTrees.push_back(edge.to);
            } else {
                minHeightTrees.clear();
                minHeightTrees.push_back(edge.from);
                minHeightTrees.push_back(edge.to);
            }
        }
    }

    return minHeightTrees;
}