力扣斩将夺旗：动态规划剑指462：至少移动次数使数组元素相等II

在力扣题海中，有一道极具挑战性的题：462.最少移动次数使数组元素相等II。这道题不仅考察了算法基本功，更检验了对数学和动态规划的灵活运用。

题目重述：
给定一个非空整数数组，找到使所有数组元素相等所需的最小移动数。每次移动可将选定的一个元素加1或减1。假设数组长度最多为10000。

暴力法：
暴力法是最朴素的解法。它枚举所有可能的均值，然后计算每个均值的最小移动次数。具体步骤如下：

1. 找出数组中的最大值和最小值。
2. 对于每个可能的均值，计算使所有元素都等于该均值所需的最小移动次数。
3. 找出所有最小移动次数中的最小值。

动态规划：
动态规划是一种自底向上的解法。它利用了这样一个事实：最小移动次数可以从较小的子问题中计算出来。具体步骤如下：

1. 定义状态dp[i][j]，表示使数组前i个元素都等于j所需的最小移动次数。
2. 初始化dp[0][j]为0，表示使数组的前0个元素都等于j所需的最小移动次数为0。
3. 对于i>0，计算dp[i][j]：
   • 如果j>nums[i]，则dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1。
   • 如果j<nums[i]，则dp[i][j] = dp[i-1][j+1] + 1。
   • 如果j==nums[i]，则dp[i][j] = dp[i-1][j]。
4. 找出所有dp[n][j]中的最小值，其中n是数组的长度。

时间复杂度：
暴力法的時間複雜度為O(n^3)。动态规划的时间复杂度为O(n^2)。

空间复杂度：
暴力法的空间复杂度为O(n)。动态规划的空间复杂度为O(n^2)。

优化：
我们可以使用一些优化技巧来进一步提高动态规划算法的效率。例如，我们可以利用对称性来减少状态的数量。具体来说，我们可以定义状态dp[i][j]，表示使数组前i个元素都等于j或者j+1所需的最小移动次数。这样，状态的数量就从n^2减少到n*(n+1)/2。

代码：

def minMoves2(nums):
    """
    :type nums: List[int]
    :rtype: int
    """
    n = len(nums)
    nums.sort()
    median = nums[n // 2]
    moves = 0
    for num in nums:
        moves += abs(num - median)
    return moves

结论：
462.最少移动次数使数组元素相等II是一道经典的动态规划题。通过使用动态规划，我们可以将时间复杂度从O(n^3)降低到O(n^2)，从而大大提高了解题效率。