子数组范围和：探索动归、递推与单调栈

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2023-10-21 17:05:14

子数组范围和：三种核心解题技巧大显身手

前言

欢迎来到技术博客的奇妙世界！今天，我们将深入探讨一道引人入胜的算法题——子数组范围和。这道题将考验你对「区间 DP」、「递推」和「单调栈」这三种核心解题技巧的掌握程度。准备好迎接挑战了吗？

子数组范围和：背景介绍

想象一下我们有一个整数数组 nums，其中元素可能为正数或负数。我们的目标是找出数组中所有子数组的范围和，即每个子数组中最大值与最小值的差值。

解题思路：区间 DP vs. 递推

解决这道题有两种主要方法：区间 DP 和递推。

区间 DP 将问题分解成一系列子问题，逐个解决，最终得到整体解法。
递推从简单情况逐步推导出复杂情况，逐层递进，直至得到最终解法。

Python 代码实现

为了让大家更好地理解，我们提供了两种解法的 Python 代码实现：

# 区间 DP
def max_subarray_range_dp(nums):
    dp = [[0 for _ in range(len(nums))] for _ in range(len(nums))]
    for i in range(len(nums)):
        dp[i][i] = nums[i]
    for length in range(2, len(nums) + 1):
        for i in range(len(nums) - length + 1):
            j = i + length - 1
            dp[i][j] = max(nums[i], dp[i+1][j]) - min(nums[i], dp[i+1][j])
    return max([max(row) for row in dp])

# 递推
def max_subarray_range_recursive(nums):
    if len(nums) == 1:
        return 0
    return max(nums[1:] - nums[:-1]) + max_subarray_range_recursive(nums[1:])

单调栈：另一种巧妙解法

除了区间 DP 和递推，我们还可以利用「单调栈」来解决这道题。单调栈可以维护一个递增或递减的元素序列。对于本题，我们可以用单调栈维护子数组的最大值和最小值，然后根据这两个值计算范围和。

# 单调栈
def max_subarray_range_stack(nums):
    stack = []
    for num in nums:
        while stack and num < stack[-1][0]:
            stack.pop()
        stack.append((num, len(stack)))
    min_stack = [(num, i) for num, i in stack]
    max_range = 0
    for i in range(len(min_stack)):
        min_idx, max_idx = min_stack[i][1], stack[i][1]
        max_range = max(max_range, nums[max_idx] - nums[min_idx])
    return max_range