状态机动态规划——股票问题（下）

状态机动态规划概述

状态机动态规划（SMDP）是一种结合了状态机和动态规划思想的优化算法。它将问题分解为一系列状态，然后在这些状态之间进行转移，从而找到最佳的解决方案。状态机动态规划适用于解决具有以下特点的问题：

• 问题可以分解为一系列状态。
• 每个状态都有一个相关联的成本或奖励。
• 可以在状态之间进行转移，每个转移也有一定的成本或奖励。
• 问题的目标是找到从初始状态到目标状态的最优路径，即总成本或奖励最小的路径。

状态机动态规划解决股票问题

在股票市场中，投资者经常需要面对如何买入和卖出股票的问题。这是一个典型的动态规划问题，因为投资者的决策会影响到未来的收益。状态机动态规划是一种非常适合解决此类问题的算法。

1. 最佳买卖股票时机含冷冻期

在这个问题中，投资者可以在任何时候买入或卖出股票，但卖出股票后必须等待一段时间（冷冻期）才能再次买入。问题的目标是找到一种买卖股票的策略，使得总收益最大化。

状态机动态规划求解

为了使用状态机动态规划求解此问题，我们需要定义状态和状态转移。

状态：

状态可以表示为一个二元组 (i, j)，其中 i 表示当前日期，j 表示当前是否持有股票。

状态转移：

状态转移可以表示为四种操作：

• 买入股票： 从状态 (i, 0) 转移到状态 (i, 1)，成本为当天股票价格。
• 卖出股票： 从状态 (i, 1) 转移到状态 (i, 0)，收益为当天股票价格。
• 持有股票： 从状态 (i, 1) 转移到状态 (i + 1, 1)，成本为当天股票价格的变化量。
• 等待买入股票： 从状态 (i, 0) 转移到状态 (i + 1, 0)，成本为 0。

动态规划求解

我们使用动态规划来求解此问题。首先，我们将问题分解为一系列子问题：

• 在第 i 天，如果持有股票，那么从第 i 天到第 n 天的最大收益是多少？
• 在第 i 天，如果没有持有股票，那么从第 i 天到第 n 天的最大收益是多少？

然后，我们可以使用以下公式递推地求解这些子问题：

dp[i][1] = max(dp[i-1][1] + prices[i], dp[i-1][0] - prices[i])
dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i])

其中 dp[i][j] 表示在第 i 天，如果持有股票则 j = 1，否则 j = 0，那么从第 i 天到第 n 天的最大收益。

2. 买卖股票的最佳时机含手续费

在这个问题中，投资者在买入或卖出股票时需要支付一定的手续费。问题的目标是找到一种买卖股票的策略，使得总收益最大化。

状态机动态规划求解

为了使用状态机动态规划求解此问题，我们需要定义状态和状态转移。

状态：

状态可以表示为一个二元组 (i, j)，其中 i 表示当前日期，j 表示当前是否持有股票。

状态转移：

状态转移可以表示为四种操作：

• 买入股票： 从状态 (i, 0) 转移到状态 (i, 1)，成本为当天股票价格加手续费。
• 卖出股票： 从状态 (i, 1) 转移到状态 (i, 0)，收益为当天股票价格减去手续费。
• 持有股票： 从状态 (i, 1) 转移到状态 (i + 1, 1)，成本为当天股票价格的变化量。
• 等待买入股票： 从状态 (i, 0) 转移到状态 (i + 1, 0)，成本为 0。

动态规划求解

我们使用动态规划来求解此问题。首先，我们将问题分解为一系列子问题：

• 在第 i 天，如果持有股票，那么从第 i 天到第 n 天的最大收益是多少？
• 在第 i 天，如果没有持有股票，那么从第 i 天到第 n 天的最大收益是多少？

然后，我们可以使用以下公式递推地求解这些子问题：

dp[i][1] = max(dp[i-1][1] + prices[i] - fee, dp[i-1][0] - prices[i] - fee)
dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i] - fee)

其中 dp[i][j] 表示在第 i 天，如果持有股票则 j = 1，否则 j = 0，那么从第 i 天到第 n 天的最大收益。