有序数组平方后的排列定律

后端

2023-09-08 08:06:36

平方后的数组规律

当我们面对有序数组平方的问题时，不妨跳出原有的思维定势，思考一个更具普适性的问题：任意数组经过平方运算后的数字分布规律是什么？

若我们设定一个原始数组A，元素按从小到大依次排列。当对其进行平方运算后，得到数组B。那么，数组B的元素分布将呈现出以下规律：

正负号分布：数组A中包含正数、负数或零，数组B中必定包含正数和非负数（零属于非负数）。换言之，数组B中不存在负数。
大小关系：若数组A中的两个元素a和b满足a < b，则数组B中的对应元素a^2和b^2也满足a^2 < b^2。这意味着，数组B中的元素也按从小到大排列。
元素重复：若数组A中存在重复元素，则数组B中对应的元素也重复，且重复的次数相同。

算法设计

基于上述规律，我们可以设计一个算法来解决有序数组平方的问题：

初始化数组B ：创建一个新的数组B，其长度与数组A相同。
寻找数组A的中间元素 ：使用二分查找算法，找到数组A的中间元素。
平方并归并 ：从中间元素开始，分别向左和向右遍历数组A。对于每个元素，计算其平方并将其插入数组B中。需要注意的是，需要比较每个元素与数组B中已有元素的大小关系，以确保数组B中的元素按从小到大排列。
合并剩余元素 ：将数组A中剩余的元素平方并插入数组B中。

算法分析

该算法的时间复杂度为O(n)，其中n为数组A的长度。二分查找的时间复杂度为O(logn)，而平方和归并操作的时间复杂度为O(n)。因此，算法的总体时间复杂度为O(n)。

证明

为了证明该算法的正确性，我们需要证明两个方面：

数组B中的元素是数组A中元素的平方。
数组B中的元素按从小到大排列。

对于第一方面，我们可以通过数学归纳法证明。当数组A只有一个元素时，数组B也只有一个元素，显然数组B中的元素是数组A中元素的平方。当数组A有多个元素时，假设对于子数组A[0, m-1]，数组B中的元素是数组A中元素的平方。我们需要证明对于子数组A[m, n-1]，数组B中的元素也是数组A中元素的平方。

对于每个元素A[i]，它将被插入到数组B中。由于数组B中的元素按从小到大排列，因此A[i]^2将被插入到数组B中的某个位置j。我们需要证明j是正确的，即A[i]^2应该插入到数组B中的第j个位置。

若A[i]^2小于数组B中第j-1个元素，则A[i]^2应该插入到第j-1个位置之后。若A[i]^2大于数组B中第j个元素，则A[i]^2应该插入到第j个位置之后。若A[i]^2等于数组B中第j个元素，则A[i]^2应该插入到第j个位置。

因此，我们可以证明，对于子数组A[m, n-1]，数组B中的元素也是数组A中元素的平方。

对于第二方面，我们可以通过数学归纳法证明。当数组A只有一个元素时，数组B也只有一个元素，显然数组B中的元素按从小到大排列。当数组A有多个元素时，假设对于子数组A[0, m-1]，数组B中的元素按从小到大排列。我们需要证明对于子数组A[m, n-1]，数组B中的元素也按从小到大排列。

因此，我们可以证明，对于子数组A[m, n-1]，数组B中的元素也按从小到大排列。