深入解读 LeetCode-990：等式方程的可满足性

2023-12-16 01:23:52

LeetCode-990 等式方程的可满足性：图论与并查集的巧妙结合

在解决编程难题的世界中，巧妙的算法和对数据结构的深刻理解往往是解开复杂谜题的关键。LeetCode-990 等式方程的可满足性就是这样一个问题，它考验着我们的问题解决能力和对图论的掌握程度。让我们踏上探索之旅，深入解析这个引人入胜的难题，揭开其背后的精妙解题思路。

问题陈述：等式方程的满足性

我们给出了一个字符串方程式数组 equations，其中每个方程式都有两种形式之一："a==b" 或 "a!=b"。其中，a 和 b 是小写字母，代表变量。我们的任务是确定给定方程组是否可满足，即是否存在一组变量值使所有方程都成立。

图论建模：将方程组转化为图

为了解决这个问题，我们将方程组巧妙地建模成一个图。图中的变量对应着顶点，方程对应着边。对于 "a==b" 方程，我们在 a 和 b 之间添加一条标有 "相等" 的边；对于 "a!=b" 方程，我们在 a 和 b 之间添加一条标有 "不相等" 的边。

并查集：维护变量之间的相等关系

接下来，我们使用并查集数据结构来维护变量之间的相等关系。并查集是一种高效的数据结构，它可以将一组元素划分为多个集合，每个集合中的元素都具有相同的属性。在我们的情况下，每个集合代表一组等价的变量。

每当我们遇到一个 "a==b" 方程时，我们就将 a 和 b 的并查集合并，表明它们是等价的。每当我们遇到一个 "a!=b" 方程时，我们就检查 a 和 b 是否属于同一个并查集。如果它们属于同一个并查集，则方程组不可满足，因为这意味着存在矛盾的关系。

算法步骤：逐个处理方程

以下是解决 LeetCode-990 等式方程的可满足性问题的详细算法步骤：

建立图： 将变量作为图中的顶点，方程作为图中的边。
初始化并查集： 每个变量属于一个独立的集合。
遍历方程式数组：
- 如果方程为 "a==b"，则将 a 和 b 的并查集合并。
- 如果方程为 "a!=b"，则检查 a 和 b 是否属于同一个并查集。如果是，则方程组不可满足。
判断可满足性： 如果遍历所有方程后没有遇到矛盾，则方程组可满足。

代码示例：Python 实现

class UnionFind:
    def __init__(self, n):
        self.parent = list(range(n))
        self.size = [1] * n

    def find(self, x):
        if self.parent[x] != x:
            self.parent[x] = self.find(self.parent[x])
        return self.parent[x]

    def union(self, x, y):
        rootX = self.find(x)
        rootY = self.find(y)
        if rootX != rootY:
            if self.size[rootX] > self.size[rootY]:
                self.parent[rootY] = rootX
                self.size[rootX] += self.size[rootY]
            else:
                self.parent[rootX] = rootY
                self.size[rootY] += self.size[rootX]

def equationsPossible(equations):
    uf = UnionFind(26)
    for equation in equations:
        if equation[1] == '=':
            uf.union(ord(equation[0]) - ord('a'), ord(equation[3]) - ord('a'))
    for equation in equations:
        if equation[1] == '!':
            if uf.find(ord(equation[0]) - ord('a')) == uf.find(ord(equation[3]) - ord('a')):
                return False
    return True